Задача 74892 ...

651b18c7ef5ebe74783e677e

12/19/2023 2:41:26 PM

Нужно решить линейное неоднородное дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
y''+9y=2sinxsin2x ; y(0)=y(π/2)=0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12/19/2023 3:53:40 PM

★

Линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Решаем [i]однородное[/i] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y`` +9y =0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+9=0

k_(1)=-3i; k=3i- корни характеристического уравнения, комплексно-сопряженные.

α =0;
β =3

В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_(общее одн)=C_(1)*cos3x+C_(2)sin3x

Частное решение находим в виде, который зависит от правой части и корней характеристического уравнения

Правая часть

f(x)=2sinx*sin2x

Преобразуем по формуле

sin α * sin β = (1/2) (cos( α -β )- cos( α + β )) ⇒

f(x)=cos(-x)-cos3x

cos(-x)=cosx

[b]f(x)=cosx-cos3x[/b]

f_(1)=cosx

f_(2)=-cos3x

y_(частное неодн)=y_(1)+y_(2)

y_(1) соответствует f_(1)=cosx

y_(2) соответствует f_(2)=-cos3x



f_(1)=cosx

y_(1) =Acosx+Bsinx


Находим производные:

y`_(1) =-A*sinx+B*cosx

y``_(1) =-A*cosx-B*sinx


Подставляем в уравнение:

y`` +9y =cosx

(-A*cosx-B*sinx)+9*(Acosx+Bsinx)=cosx

8Acosx=cosx

8A=1

A=1/8

B=0

y_(1) =(1/8)*cosx



f_(2)=-cos3x

y_(2) =[b]x[/b]*(Mcos3x+Nsin3x)

Находим производные:

y`_(2) =1*(M*cos3x+N*sin3x)+x*(-3M*sin3x+3N*cos3x)

y``_(2) =-3M*sin3x+3N*cos3x+1*(-3M*sin3x+3N*cos3x)+x*(-9M cos3x-9Nsin3x)

y``_(2) =-6M*sin3x+6N*cos3x+x*(-9M cos3x-9Nsin3x)



Подставляем в уравнение:

y`` +9y =-cos3x

-6M*sin3x+6N*cos3x+x*(-9M cos3x-9Nsin3x)+9*[b]x[/b]*(Mcos3x+Nsin3x)=-cos3x

-6M*sin3x+6N*cos3x=-cos3x

-6M=0
6N=-1

N=-1/6

y_(2) =[b]x[/b]*(0*cos3x-(1/6)*sin3x)


Значит,

y_(частное неодн)=y_(1)+y_(2)=(1/8)*cosx-(1/6)*x*cos3x


y_(общее неодн)=y_(общее одн)+y_(частное неодн)

y_(общее неодн)=C_(1)*cos3x+C_(2)sin3x+(1/8)*cosx-(1/6)*x*cos3x


О т в е т. y_(общее неодн)=C_(1)*cos3x+C_(2)sin3x+(1/8)*cosx-(1/6)*x*cos3x


Решение, [i]соответствующее начальным условиям[/i]

y(0)=y(π/2)=0


y(0)=C_(1)*cos0+C_(2)sin0+(1/8)*cos0-(1/6)*0*cos0

0=С_(1)+(1/8)-0

С_(1)=-1/8


y(π/2)=C_(1)*cos(3π/2)+C_(2)sin(3π/2)+(1/8)*cos(3π/2)-(1/6)*(π/2)*cos(3π/2)

0=С_(1)*0+С_(2)*(-1)+(1.8)*0-(π.12)*0

С_(2)=0

О т в е т. y=(-1/6)*cos3x+(1/8)*cosx-(1/6)*x*cos3x -решение, [i]соответствующее начальным условиям[/i]