Задача 74828 Найти область сходимости степенного ряда...
Условие
Решение
[m]\overset{\infty}{\underset{n=1}{\Sigma}} \frac{(x-2)^{2n}}{2n}[/m]
Формула члена ряда:
[m]a(n) = \frac{(x-2)^{2n}}{2n}[/m]
[m]a(n+1) = \frac{(x-2)^{2n+2}}{2n+2}[/m]
Найдем его область сходимости по признаку Даламбера.
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(x-2)^{2n+2}}{2n+2} : \frac{(x-2)^{2n}}{2n} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(x-2)^{2n+2}}{2n+2} \cdot \frac{2n}{(x-2)^{2n}} = [/m]
[m] = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(x-2)^{2n+2}}{(x-2)^{2n}} \cdot \frac{2n}{2n+2} = (x-2)^2 \cdot 1 = (x-2)^2 [/m]
Если этот предел меньше 1, то ряд сходится.
(x - 2)^2 < 1
Это неравенство можно записать как систему:
{ x - 2 > -1
{ x - 2 < 1
Решаем:
{ x > 1
{ x < 3
Если ряд из модулей сходится, то знакопеременный ряд сходится абсолютно.
Ответ: на промежутке (1; 3) ряд сходится абсолютно.