Задача 74825 Провести кривую второго порядка к...
Условие
Решение
4x^2 + 4y^2 - 10xy - 14sqrt(2)x - 4sqrt(2)y + 10 = 0
Самое сложное - избавиться от члена xy.
Для этого проведем переход в другую систему координат, которая имеет тот же центр, но оси повернуты на угол α.
Делаем замену по таким формулам:
{ x = x'*cos α - y'*sin α
{ y = x'*sin α + y'*cos α
Подставляем:
4(x'*cos α - y'*sin α)^2 + 4(x'*sin α + y'*cos α)^2 -
- 10(x'*cos α - y'*sin α)(x'*sin α + y'*cos α) -
- 14sqrt(2)(x'*cos α - y'*sin α) - 4sqrt(2)(x'*sin α + y'*cos α) + 10 = 0
Раскрываем квадраты и произведение скобок:
4(x'^2*cos^2 α - 2x'y'*cos α*sin α + y'^2*sin^2 α) +
+ 4(x'^2*sin^2 α + 2x'y'*cos α*sin α + y'^2*cos^2 α) -
- 10(x'^2*cos α*sin α-x'y'*sin^2 α+x'y'*cos^2 α-y'^2*cos α*sin α) -
- 14sqrt(2)(x'*cos α - y'*sin α) - 4sqrt(2)(x'*sin α + y'*cos α) + 10 = 0
Раскрываем скобки окончательно:
4x'^2*cos^2 α - 8x'y'*cos α*sin α + 4y'^2*sin^2 α +
+ 4x'^2*sin^2 α + 8x'y'*cos α*sin α + 4y'^2*cos^2 α -
-10x'^2*cos α*sin α+10x'y'*sin^2 α-10x'y'cos^2 α+10y'^2*cos α*sin α -
-14sqrt(2)x'*cos α+14sqrt(2)y'*sin α-4sqrt(2)x'*sin α-4sqrt(2)y'*cos α+10 = 0
Приводим подобные:
4x'^2*cos^2 α + 4y'^2*sin^2 α + 4x'^2*sin^2 α + 4y'^2*cos^2 α -
-10x'^2*cos α*sin α+10x'y'*sin^2 α-10x'y'cos^2 α+10y'^2*cos α*sin α -
-14sqrt(2)x'*cos α+14sqrt(2)y'*sin α-4sqrt(2)x'*sin α-4sqrt(2)y'*cos α+10 = 0
Объединяем x^2, y^2 и xy:
x'^2*(4cos^2 α+4sin^2 α-10cos α*sin α) + x'y'*(10sin^2 α-10cos^2 α) +
+ y'^2*(4sin^2 α + 4cos^2 α + 10cos α*sin α) -
- x'*14sqrt(2)*cos α+y'*14sqrt(2)*sin α-x'*4sqrt(2)*sin α-y'*4sqrt(2)*cos α + 10 = 0
Вспоминаем, что cos^2 α + sin^2 α = 1 и упрощаем:
x'^2*(4 - 10cos α*sin α) + x'y'*(10sin^2 α - 10cos^2 α) +
+ y'^2*(4 + 10cos α*sin α) - x'*(14sqrt(2)*cos α + 4sqrt(2)*sin α) +
+ y'*(14sqrt(2)*sin α - 4sqrt(2)*cos α) + 10 = 0
Теперь самый главный шаг!
Скобку при члене x'y' приравниваем к 0 и находим угол поворота α.
10sin^2 α - 10cos^2 α = 0
sin^2 α - cos^2 α = 0
sin^2 α = cos^2 α
tg^2 α = 1
Берем положительный корень tg α = 1. Это поворот на 45°.
Честно - я не знаю, почему нужно выбрать именно tg α = 1.
Я просто построил эту кривую по уравнению и увидел, что поворот на 45°, а не на -45°, поэтому надо брать tg α = 1.
Как бы то ни было, подставляем в наше уравнение:
[b]sin α = 1/sqrt(2); cos α = 1/sqrt(2); sin^2 α = 1/2; cos^2 α = 1/2[/b]
x'^2*(4 - 10*1/sqrt(2)*1/sqrt(2)) + x'y'*0 +
+ y'^2*(4 + 10*1/sqrt(2)*1/sqrt(2)) - x'*(14sqrt(2)*1/sqrt(2) + 4sqrt(2)*1/sqrt(2)) +
+ y'*(14sqrt(2)*1/sqrt(2) - 4sqrt(2)*1/sqrt(2)) + 10 = 0
Упрощаем:
x^2*(4 - 10*1/2) + y'^2*(4 + 10*1/2) - x'*(14 + 4) + y'*(14 - 4) + 10 = 0
-x'^2 + 9y'^2 - 18x' + 10y' + 10 = 0
Поменяем знаки, чтобы x'^2 был с плюсом
x'^2 - 9y'^2 + 18x' - 10y' - 10 = 0
Наконец-то получили общее уравнение БЕЗ члена xy!
Выделяем полные квадраты:
(x'^2+2*9x'+9^2-9^2) - 9(y'^2+2*5/9*y'+(5/9)^2-(5/9)^2) + 10 = 0
(x' + 9)^2 - 81 - 9(y' + 5/9)^2 + 9*25/81 - 10 = 0
(x' + 9)^2 - 9(y' + 5/9)^2 = 81 + 10 - 25/9
(x' + 9)^2 - 9(y' + 5/9)^2 = 794/9
Делим всё на (794/9), чтобы справа получилась 1:
(x' + 9)^2 / (794/9) - (y' + 5/9)^2 / (794/81) = 1
Это каноническое уравнение гиперболы.
Ее центр A(-9; -5/9) и полуоси a = sqrt(794/9); b = sqrt(794/81)