Задача 74763 ...

657b65e142718a6f375fdcfe

12/14/2023 8:41:08 PM

отделить корни уравнения x^3−3x^2+12x−9=0 аналитически уточните корни методом хорд и методом ложного положения с точностью до Ꜫ = 0,001.

626fab9a354ab65fb2f43abb

12/14/2023 9:51:55 PM

★

x^3 - 3x^2 + 12x - 9 = 0
Выделим полный куб.
(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + 9x - 8 = 0
(x - 1)^3 + 9x - 9 + 1 = 0
(x - 1)^3 + 9(x - 1) + 1 = 0
Ясно, что при x < 0 левая часть будет < 0.
При x = 0 левая часть будет равна -9 < 0
При x = 1 левая часть будет уже равна 1 > 0.
Значит, у нас всего один корень:
x ∈ (0; 1)
Находим его более точно.
f(0,5) = (0,5 - 1)^3 + 9(0,5 - 1) + 1 = (-0,5)^3 + 9(-0,5) + 1 ≈ -3,6 < 0
f(07) = (0,7 - 1)^3 + 9(0,7 - 1) + 1 = (-0,3)^3 + 9(-0,3) + 1 ≈ -1,7 < 0
f(0,8) = (0,8 - 1)^3 + 9(0,8 - 1) + 1 = (-0,2)^3 + 9(-0,2) + 1 ≈ -0,8 < 0
f(0,9) = (0,9 - 1)^3 + 9(0,9 - 1) + 1 = (-0,1)^3 + 9(-0,1) + 1 ≈ 0,1 > 0
x ∈ (0,8; 0,9)
f(0,85) = (0,85-1)^3 + 9(0,85-1) + 1 = (-0,15)^3+9(-0,15)+1 ≈ -0,3 < 0
f(0,87) = (0,87-1)^3 + 9(0,87-1) + 1 = (-0,13)^3+9(-0,13)+1 ≈ -0,17 < 0
f(0,88) = (0,88-1)^3 + 9(0,88-1) + 1 = (-0,12)^3+9(-0,12)+1 ≈ -0,08 < 0
f(0,89) = (0,89-1)^3 + 9(0,89-1) + 1 = (-0,11)^3+9(-0,11)+1 ≈ 0,008 > 0
Это значение уже близко к 0, но нам надо с точностью 0,001.
Поэтому продолжаем дальше.
x ∈ (0,88; 0,89)
f(0,888) = (0,888-1)^3+9(0,888-1)+1 = (-0,112)^3-9*0,112+1 ≈ -0,0094 < 0
f(0,889) = (0,889-1)^3+9(0,889-1)+1 = (-0,111)^3-9*0,111+1 ≈ -0,0004
Точность 0001 достигнута.
x ≈ 0,889