Задача 74735 Нужно составить уравнение прямой...

6579e5ca42718a6f375fd78c

12/13/2023 5:19:18 PM

Нужно составить уравнение прямой проходящей через точки A(2, -6,5) и В(4,-5,2)
2) Составить уравнение плоскости проходящей через 2 прямые

626fab9a354ab65fb2f43abb

12/13/2023 6:59:05 PM

★

1) Уравнение прямой через две точки - совсем просто:
[m]\frac{x - xA}{xB - xA} = \frac{y - yA}{yB - yA} = \frac{z - zA}{zB - zA} [/m]
[m]\frac{x - 2}{4 - 2} = \frac{y + 6}{-5 + 6} = \frac{z - 5}{2 - 5} [/m]
[m]\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 6}{1} = \frac{z - 5}{-3} [/m]

2) С уравнением плоскости через две прямые сложнее.
L1:
{ x1 = 3t - 1
{ x2 = -7t
{ x3 = -t + 3

L2:
{ x1 = -4t - 5
{ x2 = 2t + 1
{ x3 = 6t - 2

Чтобы построить уравнение через две прямые, нужно на них найти три точки.
Например, при t = 1 получаем:
L1:
{ x1 = 3 - 1 = 2
{ x2 = -7
{ x3 = -1 + 3 = 2

L2:
{ x1 = -4 - 5 = -9
{ x2 = 2 + 1 = 3
{ x3 = 6 - 2 = 4
Нашли две точки: A(2; -7; 2) ∈ L1; B(-9; 3; 4) ∈ L2
Третью точку можно взять, например, на L1 при t = -1:
{ x1 = -3 - 1 = -4
{ x2 = 7
{ x3 = 1 + 3 = 4
C(-4; 7; 4) ∈ L1
Строим уравнение плоскости по трем точкам. Это определитель:
[m]\begin{vmatrix}
x-2 & y+7 & z-2 \\
-9-2 & 3+7 & 4-2 \\
-4-2 & 7+7 & 4-2 \\
\end{vmatrix} =0[/m]

[m]\begin{vmatrix}
x-2 & y+7 & z-2 \\
-11 & 10 & 2 \\
-6 & 14 & 2 \\
\end{vmatrix} =0[/m]

(x - 2)*10*2 + (y + 7)*2(-6) + (z - 2)(-11)*14 -
- (x - 2)*2*14 - (y + 7)*2(-11) - (z - 2)*10(-6) = 0
Группируем одинаковые скобки:
(x-2)*(20-28) + (y+7)(-12+22) + (z-2)(-154+60) = 0
Приводим подобные:
(x-2)*(-8) + (y+7)*10 + (z-2)(-94) = 0
Раскрываем скобки:
-8x + 16 + 10y + 70 - 94z + 188 = 0
Складываем свободные члены:
-8x + 10y - 94z + 274 = 0
Поменяем все знаки, чтобы x был с плюсом и разделим всё на 2:
4x - 5y + 47z - 137 = 0