Задача 74724 ...

657886a342718a6f375fd43e

12/12/2023 5:01:41 PM

Р-ть кв-ое брие. нер-во:
А) 2sin²x-sinx-3≤0
B) √2cos²3x+7cos3x>0

626fab9a354ab65fb2f43abb

12/12/2023 5:32:32 PM

★

А) 2sin^2 x - sin x - 3 ≤ 0
Замена sin x = y
2y^2 - y - 3 ≤ 0
(y + 1)(2y - 3) ≤ 0
y ∈ [-1; 3/2]
sin x ∈ [-1; 3/2]
Но область значений функции синуса:
sin x ∈ [-1; 1]
Так как 3/2 > 1, то область значений синуса целиком входит в решение.
Это значит, что это неравенство выполнено при любом x.
Ответ: x ∈ (-oo; +oo)

Б) sqrt(2)cos^2 3x + 7cos 3x > 0
Замена cos 3x = y
sqrt(2)y^2 + 7y > 0
y(sqrt(2)y + 7) > 0
y ∈ (-oo; -7/sqrt(2)) U (0; +oo)
cos 3x ∈ (-oo; -7sqrt(2)/2) U (0; +oo)
Но область значений функции косинуса:
cos 3x ∈ [-1; 1]
Так как -7sqrt(2)/2 < -1, то промежуток (-oo; -7sqrt(2)/2)
не входит в решение. Значит, решение:
cos 3x ∈ (0; 1]
3x ∈ (-π/2 + 2π*k; π/2 + 2π*k); k ∈ Z
Ответ: x ∈ (-π/6 + 2π/3*k; π/6 + 2π/3*k); k ∈ Z