Задача 74710 Векторы: AB = 2a - 6b, BC = a + 7b, CA =...
Условие
Решение
vector{AB}= 2vector{a} - 6vector{b}
vector{BC} = vector{a} + 7vector{b}
vector{CA} = -3vector{a} -vector{b}
векторы vector{a} и vector{b} перпендикулярны.
Орт - [i]единичный[/i] вектор,
значит |vector{a}|=|vector{b}|=1
По определению скалярного произведения:
vector{a}*vector{b}=|vector{a}|*|vector{b}|*cos ∠ (vector{a},vector{b})=1*1*cos 90 ° =1*1*0=0
vector{a}*vector{a}=|vector{a}|*|vector{a}|*cos ∠ (vector{a},vector{a})=1*1*cos 0 °=1*1*1=1
vector{b}*vector{b}=1
Решение:
Так как угол между векторами находится по формуле
cos α = (vector{AB} ∙ vector{AC}) / (|vector{AB}| * |vector{AC}|)
Сначала найдем скалярное произведение векторов vector{AB} и vector{AC}, а также их модули.
vector{AB} = 2vector{a} - 6vector{b}
vector{CA}= -3vector{a} - vector{b} ⇒ vector{AC}=3vector{a}+vector{b}
Скалярное произведение векторов
vector{AB} *vector{AC} = (2vector{a} - 6vector{b}) ∙ (3vector{a} + vector{b}) =
=6vector{a}^2 -18vector{a}vector{b}-2vector{a}vector{b} -6vector{b}^2=6*1-18*0-2*0-6*1=0
cos α =0 ⇒ α =90 °
cos β = (vector{BA} ∙vector{BC}) / (|vector{BA}| * |vector{BC}|)
Сначала найдем скалярное произведение векторов vector{BA} и vector{BC}, а также их модули.
vector{BA} = -2vector{a} + 6vector{b}
Скалярное произведение векторов
vector{BA} *vector{BC} = (-2vector{a} + 6vector{b}) ∙ (vector{a} + 7vector{b}) =
=- 2vector{a}^2 +6vector{a}vector{b}-14vector{a}vector{b} +42vector{b}^2=-2*1-8*0+42*1=40
Модули векторов равны:
|vector{BA}| = |vector{AB}|=sqrt((2vector{a})^2 + (-6vector{b})^2) = sqrt(4vector{a}^2 + 36vector{b}^2) =2sqrt(10).
|vector{BC}| = sqrt((vector{a})^2 + (7vector{b})^2) = sqrt(vector{a}^2 + 49vector{b}^2) = sqrt(1^2 + 7^2) = sqrt(50).
Таким образом, мы можем найти cos β :
cos β =40/2sqrt(10)*sqrt(50)=-2/sqrt(5)
β = arccos(2 / sqrt(5)) ≈ 27 °
cos γ = (vector{CA} ∙vector{CB}) / (|vector{CA}| * |vector{CB}|)
vector{CA}= -3vector{a} - vector{b}
vector{BC}= vector{a} + 7vector{b} ⇒ vector{CB}=-vector{a}-7vector{b}
Сначала найдем скалярное произведение векторов vector{CA} и vector{CB}, а также их модули.
Скалярное произведение векторов
vector{CA} * vector{CB} = (-3vector{a} -vector{b}) ∙ (-vector{a} - 7vector{b}) =
=3vector{a}^2 +vector{a}vector{b}+21vector{a}vector{b} +7vector{b}^2=
=3*1+0+21*0+7*1=10
Модули векторов равны:
|vector{CA}| = sqrt((-3 vector{a})^2 + (-vector{b})^2) = sqrt(9 vector{a}^2 + vector{b}^2) =sqrt(9*1+1)=sqrt(10).
|vector{CB}|=|vector{BC}| = sqrt(50).
Таким образом, мы можем найти cos γ :
cos γ =10/(sqrt(10)*sqrt(50))=1/(sqrt(5))
γ = arccos(1 / (sqrt(5))) ≈ 63 °
γ ≈ 90 ° -27 °
Все решения
Угол между векторами AB и BC можно найти по формуле:
cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|),
где AB · BC - скалярное произведение векторов AB и BC,
|AB| и |BC| - длины векторов AB и BC соответственно.
AB = 2a - 6b,
BC = a + 7b.
Вычислим скалярное произведение векторов AB и BC:
AB · BC = (2a - 6b) · (a + 7b) = 2a · a + 2a · 7b - 6b · a - 6b · 7b.
Так как a и b - взаимно перпендикулярные орты, они перпендикулярны друг другу, поэтому скалярное произведение 2a · 7b и -6b · a равно нулю.
AB · BC = 2a · a - 6b · 7b = 2|a|^2 - 42|b|^2.
Теперь вычислим длины векторов AB и BC:
|AB| = √((2a - 6b) · (2a - 6b)) = √(4a · a - 24a · b + 36b · b) = √(4|a|^2 - 24|a||b| + 36|b|^2),
|BC| = √((a + 7b) · (a + 7b)) = √(a · a + 7a · b + 7b · a + 49b · b) = √(|a|^2 + 14|a||b| + 50|b|^2).
Тогда cos(θ) = (2|a|^2 - 42|b|^2) / (√(4|a|^2 - 24|a||b| + 36|b|^2) * √(|a|^2 + 14|a||b| + 50|b|^2)).
Аналогично можно найти cos угла между векторами AC и BC.
AC = -3a - b,
cos(φ) = (AC · BC) / (|AC| * |BC|).
Также можно найти cos угла между векторами AB и AC.
Итак, мы найдем все 3 угла треугольника ABC, используя формулы для углов между векторами и скалярное произведение.