Задача 74685 Ищу решение вариант 1.2, из решебника...
Условие
Решение
Пусть М( x;y;z) - произвольная точка плоскости Тогда
векторы
vector{A_(1)M}=(x-3;y-(-1);z-2)=(x-3;y+1;z-2)
vector{A_(1)A_(2)}=(-1-3;0-(-1);1-2)=(-4;1;-1)
vector{A_(1)A_(3)}=(1-3;7-(-1);3-2)=(-2;8;1)
компланарны ( лежат в одной в плоскости).
Значит смешанное произведение этих векторов равно 0
[m](\vec{A_{1}М},\vec{A_{1}A_{2}},\vec{A_{1}A_{3}})=0[/m]
Смешанное произведение трех векторов - определитель третьего порядка, составленного из координат этих векторов.
[m](\vec{A_{1}М},\vec{A_{1}A_{2}},\vec{A_{1}A_{3}})=\begin {vmatrix} x-3&y+1&z-2\\-4&1&-1\\-2&8&1\end {vmatrix}[/m]
[m]\begin {vmatrix} x-3&y+1&z-2\\-4&1&-1\\-2&8&1\end {vmatrix}=0[/m]
[m](x-3)+2(y+1)-32(z-2)+2(z-2)+8(x-3)+4(y+1)=0[/m]
[m]3x+2y-10z+13=0[/m] - уравнение плоскости[m] A_{1}A_{2}A_{3}[/m]
б)
vector{A_(1)A_(2)}=(-4;1;-1) - направляющий вектор прямой A_(1)A_(2)
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку A_(1) c заданным направляющим вектором vector{A_(1)A_(2)}=(-4;1;-1)
[m]\frac{x-3}{-4}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}[/m]- уравнение прямой A_(1)A_(2)
в)
[m]3x+2y-10z+13=0[/m] - уравнение плоскости[m] A_{1}A_{2}A_{3}[/m] с нормальным вектором [m]\vec{n_{ A_{1}A_{2}A_{3}}}=(3;2;-10)[/m]
Прямая A_(4)M ⊥ плоскости[m] A_{1}A_{2}A_{3}[/m]
Значит нормальный вектор плоскости [m] A_{1}A_{2}A_{3}[/m] [m]\vec{n_{ A_{1}A_{2}A_{3}}}=(3;2;-10)[/m] - направляющий вектор прямой A_(4)M
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку A_(4) c заданным направляющим вектором [m]\vec{n_ {A_{1}A_{2}A_{3}}}=(3;2;-10)[/m]
[m]\frac{x-8}{3}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-8}{-10}[/m]- уравнение прямой A_(4)М
г)
Прямая A_(3)N || прямой A_(1)A_(2)
Параллельные прямые имеют одинаковые направляющие векторы
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку A_(3) c заданным направляющим вектором vector{A_(1)A_(2)}=(-4;1;-1)
[m]\frac{x-1}{-4}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{-1}[/m]- уравнение прямой A_(3)N
д)
появится время - напишу решение
e)
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией
( см. скрин)⇒ [m]cos ( 90 ° -∠(\vec{A_{1}A_{4}}, \vec{n}))=sin∠(\vec{A_{1}A_{4}}, \vec{n})[/m]
[m]\vec{n_{ A_{1}A_{2}A_{3}}}=(3;2;-10)[/m] - нормальный вектор плоскости [m] A_{1}A_{2}A_{3}[/m]
[m]\vec{n_{ A_{1}A_{2}A_{3}}}=(3;2;-10)[/m] обозначим просто [m]\vec{n}[/m]
[m]\vec{A_{1}A_{4}}=(8-3;5-(-1);8-2)=(5;6;6)[/m]-направляющий вектор прямой A_(1)A_(4)
[m]sin∠(\vec{A_{1}A_{4}}, \vec{n})=\frac{(\vec{A_{1}A_{4}}\cdot \vec{n})}{|\vec{A_{1}A_{4}}|\cdot |\vec{n}|}[/m]
[m]sin∠(\vec{A_{1}A_{4}}, \vec{n})=\frac{5\cdot 3+6\cdot 2+6\cdot (-10)}{\sqrt{5^2+6^2+6^2}\cdot \sqrt{3^2+2^2+(-10)^2}}=\frac{33}{\sqrt{97}\cdot\sqrt{113}}[/m]
[m]∠(\vec{A_{1}A_{4}}, \vec{n})=arcsin\frac{33}{\sqrt{10961}}[/m]
ж)
[m]\vec{n_{ A_{1}A_{2}A_{3}}}=(3;2;-10)[/m] - нормальный вектор плоскости [m] A_{1}A_{2}A_{3}[/m]
[m]\vec{n_{ A_{1}A_{2}A_{3}}}=(3;2;-10)[/m] обозначим просто [m]\vec{n}[/m]
Нормальный вектор плоскости xOy [m]\vec{k}=(0;0;1)[/m]
Найти угол между плоскостями значит найти угол между их нормальными векторами:
[m]cos∠(\vec{k}, \vec{n})=\frac{(\vec{k}\cdot \vec{n})}{|\vec{k}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{0\cdot 3+0\cdot 2+1\cdot (-10)}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{3^2+2^2+(-10)^2}}=\frac{-10}{\sqrt{113}}[/m]
косинус отрицательный, значит угол между векторами - тупой .
Угол между плоскостями наименьший из вертикальных углов, образованных прямыми с направляющими векторами
[m]\vec{k}[/m] и [m]\vec{n}[/m]
[m]cos∠(xOy, A_{1}A_{2}A_{3})=\frac{|-10|}{\sqrt{113}}=\frac{10}{\sqrt{113}}[/m]
[m]∠(xOy, A_{1}A_{2}A_{3})=arccos\frac{10}{\sqrt{113}}[/m]
