Задача 74665 |4x^2+3x-7|=p ...
Условие
Решение
Очевидно, это уравнение с параметром, и его нужно решить при различных значениях параметра p.
Во-первых, заметим сразу, что модуль есть величина неотрицательная при любом значении выражения, стоящего под модулем.
Поэтому:
1) При p < 0 - решений [b]нет[/b].
2) При p = 0 получаем квадратное уравнение:
|4x^2 + 3x - 7| = 0
4x^2 + 3x - 7 = 0
D = 3^2 - 4*4(-7) = 9 + 112 = 121 = 11^2
[b]x1 = (-3 - 11)/8 = -14/8 = -7/4
x2 = (-3 + 11)/8 = 8/8 = 1[/b]
3) При p > 0 уравнение с модулем распадается на два уравнения:
3а) 4x^2 + 3x - 7 = -p
4x^2 + 3x - 7 + p = 0
D = 3^2 - 4*4(p-7) = 9 - 28p + 112 = 121 - 28p
Очевидно, что:
При D = 121 - 28p < 0, то есть при p > 121/28 - решений [b]нет[/b].
При D = 121 - 28p = 0, то есть при p = 121/28 - решение одно.
[b]x = -3/8[/b]
При D = 121 - 28p > 0, то есть при 0 < p < 121/28 - решений два.
[b]x1 = (-3 - sqrt(121 - 28p))/8; x2 = (-3 + sqrt(121 - 28p))/8[/b]
3б) 4x^2 + 3x - 7 = p
4x^2 + 3x - 7 - p = 0
D = 3^2 - 4*4(-p-7) = 9 + 28p + 112 = 121 + 28p
Так как по условию p > 0, то:
D = 121 + 28p > 0 при любом p - решений два.
[b]x1 = (-3 - sqrt(121 + 28p))/8; x2 = (-3 + sqrt(121 + 28p))/8[/b]
Ответ:
1) При [b]p < 0[/b] - решений [b]нет[/b].
2) При [b]p = 0[/b] - два решения: [b]x1 = -7/4; x2 = 1[/b]
3) При [b]0 < p < 121/28[/b] - четыре решения:
[b]x1 = (-3 - sqrt(121 - 28p))/8; x2 = (-3 + sqrt(121 - 28p))/8[/b]
[b]x3 = (-3 - sqrt(121 + 28p))/8; x4 = (-3 + sqrt(121 + 28p))/8[/b]
4) При [b]p = 121/28[/b] - три решения:
[b]x1 = -3/8; x2 = (-3 - sqrt(121 + 28p))/8; x3 = (-3 + sqrt(121 + 28p))/8[/b]
5) При [b]p > 121/28[/b] - два решения:
[b]x1 = (-3 - sqrt(121 + 28p))/8; x2 = (-3 + sqrt(121 + 28p))/8[/b]