Задача 74649 Решите системы линейных уравнений...
Условие
Решение
[m]\begin{pmatrix}
1 & 5 & 2 & 0 & 2 & -4 & | & -4 \\
0 & 0 & 0 & -1 & -5 & 4 & | & -6 \\
1 & 5 & 0 & 0 & 6 & 8 & | & -8 \\
\end{pmatrix}[/m]
Поменяем местами 2 и 3 строки, получим ступенчатую матрицу:
[m]\begin{pmatrix}
1 & 5 & 2 & 0 & 2 & -4 & | & -4 \\
1 & 5 & 0 & 0 & 6 & 8 & | & -8 \\
0 & 0 & 0 & -1 & -5 & 4 & | & -6 \\
\end{pmatrix}[/m]
1 строку умножаем на -1 и складываем 1 и 2 строку:
[m]\begin{pmatrix}
1 & 5 & 2 & 0 & 2 & -4 & | & -4 \\
0 & 0 & -2 & 0 & 4 & 12 & | & -4 \\
0 & 0 & 0 & -1 & -5 & 4 & | & -6 \\
\end{pmatrix}[/m]
2 строку сокращаем на -2, 3 строку умножаем на -1:
[m]\begin{pmatrix}
1 & 5 & 2 & 0 & 2 & -4 & | & -4 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -2 & -6 & | & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 5 & -4 & | & 6 \\
\end{pmatrix}[/m]
Запишем в виде системы:
{ x1 + 5*x2 + 2*x3 + 0*x4 + 2*x5 - 4*x6 = -4
{ 0*x1 + 0*x2 + x3 + 0*x4 - 2*x5 - 6*x6 = 2
{ 0*x1 + 0*x2 + 0*x3 + x4 + 5*x5 - 4*x6 = 6
Базисные переменные: x1, x3, x4 (первые ненулевые в строках).
Свободные переменные: x2, x5, x6.
Выразим базисные переменные через свободные:
x4 = 6 - 5*x5 + 4*x6
x3 = 2 + 2*x5 + 6*x6
x1 = -4 - 5*x2 - 2*x3 - 2*x5 + 4*x6
Подставляем в последнее равенство второе равенство:
x1 = -4 - 5*x2 - 2(2 + 2*x5 + 6*x6) - 2*x5 + 4*x6
x1 = -4 - 5*x2 - 4 - 4*x5 - 12*x6 - 2*x5 + 4*x6
x1 = -8 - 5*x2 - 6*x5 - 8*x6
Получаем:
x1 = -8 - 5*x2 - 6*x5 - 8*x6
x2 = 0 + x2 + 0*x5 + 0*x6
x3 = 2 + 0*x2 + 2*x5 + 6*x6
x4 = 6 + 0*x2 - 5*x5 + 4*x6
x5 = 0 + 0*x2 + x5 + 0*x6
x6 = 0 + 0*x2 + 0*x5 + x6
В ответе обозначаем s = x2, t = x5, u = x6
Ответ:
[m]\begin{bmatrix}
x1 \\
x2 \\
x3 \\
x4 \\
x5 \\
x6 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-8 \\
0 \\
2 \\
6 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix} + s \begin{bmatrix}
-5 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix}
-6 \\
0 \\
2 \\
-5 \\
1 \\
0 \\
\end{bmatrix} + u \begin{bmatrix}
-8 \\
0 \\
6 \\
4 \\
0 \\
1 \\
\end{bmatrix}[/m]