Задача 74645 Найдите корень (или произведение всех...
Условие
Решение
ОДЗ:
{ x ≥ -5
{ x+6+2 sqrt(x+5) ≥ 0
{ x+6-2 sqrt(x+5) ≥ 0
ОДЗ сложный, проще потом проверить найденные решения.
Заметим, что:
[m]\sqrt{x+6+2 \sqrt{x+5}} = \sqrt{1+2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x+5}+(x+5)} = \sqrt{(1+\sqrt{x+5})^2} = 1+\sqrt{x+5}[/m]
[m]\sqrt{x+6-2 \sqrt{x+5}} = \sqrt{1-2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x+5}+(x+5)} = \sqrt{(1-\sqrt{x+5})^2}[/m]
Здесь чуть сложнее, зависит от значения x.
Если [m]\sqrt{x+5} < 1[/m], то есть x + 5 < 1; то есть -5 ≤ x < -4, то:
[m]\sqrt{(1-\sqrt{x+5})^2} = 1-\sqrt{x+5}[/m]
Если [m]\sqrt{x+5} > 1[/m], то есть x + 5 > 1; x > -4, то:
[m]\sqrt{(1-\sqrt{x+5})^2} = \sqrt{x+5} - 1[/m]
Проверим оба варианта.
1) -5 ≤ x < -4
[m]1+\sqrt{x+5} + 1-\sqrt{x+5} = 6[/m]
[m]2 = 6[/m]
Решений нет.
2) x > -4
[m]1+\sqrt{x+5} + \sqrt{x+5} - 1 = 6[/m]
[m]2\sqrt{x+5} = 6[/m]
[m]\sqrt{x+5} = 3[/m]
x + 5 = 9
x = 4
Проверяем ОДЗ:
{ 4 ≥ -5 - ДА
{ 4+6+2 sqrt(4+5) = 10+2 sqrt(9) = 10 + 2*3 =16 ≥ 0 - ДА
{ 4+6-2 sqrt(4+5) = 10-2 sqrt(9) = 10 - 2*3 = 4 ≥ 0 - ДА
Ответ: 4