Задача 74622 Найти y' и y''. y^2-x=cosy...
Условие
математика ВУЗ
158
Решение
★
Функция задана неявно. Берем производную, как обычно.
Но помним, что производная от y так и будет y':
Поэтому (y^2)' = 2y*y'; (cos y)' = (-sin y)*y'
2y*y' - 1 = (-sin y)*y'
Переносим все y' налево, а всё остальное направо:
2y*y' + (sin y)*y' = 1
y'*(2y + sin y) = 1
[m]y' = \frac{1}{2y - \sin\ y}[/m]
Теперь берем вторую производную точно также:
[m]y'' = \frac{1'(2y - \sin\ y) - 1(2y' - \cos\ y \cdot y')}{(2y - \sin\ y)^2} = \frac{0 - (2y' - \cos\ y \cdot y')}{(2y - \sin\ y)^2}[/m]
[m]y'' = y' \cdot \frac{\cos\ y - 2}{(2y - \sin\ y)^2} = \frac{1}{2y - \sin\ y}\cdot \frac{\cos\ y - 2}{(2y - \sin\ y)^2} = \frac{\cos\ y - 2}{(2y - \sin\ y)^3}[/m]