Задача 74607 Написать уравнение касательной и нормали...
Условие
кривой в точке с абсциссой x_(0): x+2/x, x_(0)=2. на фото задание 2
Решение
Уравнение касательной к кривой y(x) в данной точке x0:
f(x) = y(x0) + y'(x0)*(x - x0)
Находим нужные коэффициенты:
y(x0) = y(2) = 2 + 2/2 = 3
y'(x) = 1 - 2/x^2
y'(x0) = y'(2) = 1 - 2/2^2 = 1 - 2/4 = 1/2 = 0,5
Подставляем в уравнение:
f(x) = 3 + 0,5(x - 2) = 3 + 0,5x - 1
f(x) = 0,5x + 2
Нормаль - это прямая, перпендикулярная к касательной.
Для двух перпендикулярных прямых:
f(x) = k1*x + b и g(x) = k2*x + b
Выполняется равенство:
k1*k2 = -1
У нас k1 = 0,5, поэтому k2 = -1/k1 = -1/0,5 = -2
Значит, нормаль n(x) через точку касания (2; 3) будет такая:
n(x) = y(x0) + k2*(x - x0)
n(x) = 3 - 2(x - 2) = 3 - 2x + 4
n(x) = -2x + 7
Ответ: Касательная f(x) = 0,5x + 2; Нормаль n(x) = -2x + 7