Задача 74588 Из точки А, не лежащей на окружности...

65704829e2fb170457c22078

12/6/2023 10:11:27 AM

Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АК и АР, если АВ = 6, а отрезок КР на 6 больше отрезка АК.

64c75b82b635261bba022a6f

12/6/2023 2:07:56 PM

★

По теореме касательной длина отрезка АВ равна произведению длин отрезков АК и АР. Запишем данное равенство:
АВ^2 = АК * АР
Исходя из условия, получаем:
6^2 = АК * (АК + 6)
36 = АК^2 + 6АК
Таким образом, получаем квадратное уравнение:
АК^2 + 6АК - 36 = 0
Решим его с помощью квадратного корня:
АК = (-6 + sqrt(6^2 - 4 * 1 * (-36))) / (2 * 1) = (-6 + sqrt(324)) / 2 = (-6 + 18) / 2 = 12 / 2 = 6
или
АК = (-6 - sqrt(6^2 - 4 * 1 * (-36))) / (2 * 1) = (-6 - sqrt(324)) / 2 = (-6 - 18) / 2 = -24 / 2 = -12

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то АК = 6.

Теперь найдем длину отрезка АР:
АВ^2 = АК * АР
6^2 = 6 * АР
36 = 6АР
АР = 36 / 6 = 6

Таким образом, длина отрезка АК равна 6, а длина отрезка АР тоже равна 6.