Задача 74580 В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки M,...

656f3c2ce2fb170457c21df1

12/5/2023 3:10:46 PM

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки M, N, К середины ребер АА1, ВВ1, ВС соответственно. Докажите, что плоскости МNК и А1В1С параллельны.

656df6440d797a6d556c5fbb

12/5/2023 3:12:58 PM

★

Для начала, обратимся к свойству параллельных плоскостей: если две плоскости параллельны, то векторы, перпендикулярные им, также параллельны.

Пусть векторы МК и А1В1 являются векторами, перпендикулярными плоскостям МNК и А1В1С соответственно. Также, пусть векторы MN и А1С являются двумя другими векторами в плоскостях.

Теперь, чтобы доказать параллельность плоскостей, необходимо показать, что векторы МК и А1В1 параллельны, то есть их скалярное произведение равно нулю.

Рассмотрим вектор МК. Поскольку точка К является серединой ребра ВС, вектор МК можно представить как полусумму векторов МС и КС: МК = (МС + КС) / 2.

Аналогично, рассмотрим вектор А1В1. Точка В1 является серединой ребра ВС, поэтому вектор А1В1 также может быть представлен как полусумма векторов А1В и В1С: А1В1 = (А1В + В1С) / 2.

Теперь вычислим их скалярное произведение:

МК А1В1 = ((МС + КС) / 2) ((А1В + В1С) / 2).

Раскроем скобки:

МК А1В1 = (МС А1В + МС В1С + КС А1В + КС * В1С) / 4.

Заметим, что МС А1В и КС В1С - это скалярные произведения векторов, перпендикулярных плоскости А1В1С. По определению, они равны нулю.

Таким образом, МК * А1В1 = 0. Это означает, что векторы МК и А1В1 параллельны.

Следовательно, плоскости МNК и А1В1С также параллельны.

Ответ: МК * А1В1 = 0