Задача 74576 Задание 1. Пользуясь только определением...
Условие
f '(x)
, если
f (x) = (x - 2)^3 .
Решение
Предел отношения изменения функции к изменению аргумента при изменении аргумента, стремящемся к 0.
[m]f'(x)=\lim \limits_{Δx \to 0} \frac{f(x + Δx) - f(x)}{Δx}[/m]
У нас функция: f(x) = (x - 2)^3
f(x + Δx) = (x + Δx - 2)^3
f(x + Δx) - f(x) = (x + Δx - 2)^3 - (x - 2)^3
Разложим эту разность на множители, как разность кубов.
(x+Δx-2)^3 - (x-2)^3 = (x+Δx-2-x+2)((x+Δx-2)^2 + (x+Δx-2)(x-2) + (x-2)^2)
= Δx*((x+Δx-2)^2 + (x+Δx-2)(x-2) + (x-2)^2)
Теперь находим предел:
[m]f'(x)=\lim \limits_{Δx \to 0} \frac{f(x + Δx) - f(x)}{Δx} = \lim \limits_{Δx \to 0} \frac{Δx((x+Δx-2)^2 + (x+Δx-2)(x-2) + (x-2)^2)}{Δx} =[/m]
[m]= \lim \limits_{Δx \to 0} ((x+Δx-2)^2 + (x+Δx-2)(x-2) + (x-2)^2) = [/m]
[m] = (x+0-2)^2 + (x+0-2)(x-2) + (x-2)^2 = 3(x-2)^2[/m]
Что и требовалось доказать.
Все решения
Так как у нас дана функция f(x) = (x – 2)^3, давай произведем дифференцирование:
Используем правило степени: (x^n)' = n * x^(n-1). Применим это правило к нашей функции: (x - 2)^3 = 3 (x - 2)^(3-1) = 3 (x - 2)^2.
Применим правило дифференцирования сложной функции: Для выражения (x - 2)^2, мы сначала дифференцируем внутреннюю функцию (x - 2), а затем умножаем результат на производную внутренней функции. Производная внутренней функции (x - 2) равна 1 (потому что производная от x равна 1, а производная постоянного числа равна 0). Таким образом, производная выражения (x - 2)^2 будет равна 2 (x - 2) 1 = 2 * (x - 2).
Итак, производная функции f(x) равна: f '(x) = 3 (x - 2)^2 2 (x - 2) = 6 (x - 2)^3.
Ответ: f '(x) = 3 (x – 2)2 2 (x – 2) = 6 (x – 2)3