Задача 74566 Найти конечные особые точки функции f(z)...
Условие
Решение
[m]f(z) = \frac{z}{e^{z} - 1}[/m]
[m]f'(z) = \frac{1(e^{z} - 1) - z*e^{z}}{(e^{z} - 1)^2} = \frac{e^{z}(1 - z) - 1}{(e^{z} - 1)^2} = 0[/m]
Как известно, если дробь равна 0, то ее числитель равен 0.
e^(z)*(1 - z) - 1 = 0
e^(z)*(1 - z) = 1
Единственное действительное решение очевидно:
z = 0
e^0*(1 - 0) = 1*1 = 1
Как искать комплексные решения - я не знаю.
Вольфрам Альфа тоже не помогает, пишет чушь.
Теперь про поведение функции на бесконечности.
[m]\lim \limits_{z \to -\infty} \frac{z}{e^{z} - 1} = \frac{-\infty}{0 - 1} = +\infty[/m]
[m]\lim \limits_{z \to +\infty} \frac{z}{e^{z} - 1} = \frac{+\infty}{+\infty}[/m]
Получили неопределенность, которую легко раскрыть правилом Лопиталя.
[m]\lim \limits_{z \to +\infty} \frac{z}{e^{z} - 1} = \lim \limits_{z \to +\infty} \frac{1}{e^{z}} = \frac{1}{+\infty} = 0[/m]