Задача 74500 Решите систему линейных уравнений...
Условие
Решение
[m]\begin{pmatrix}
1 & -4 & 2 & 0 & 4 & -3 & | & -1 \\
0 & 0 & 0 & -1 & -2 & -2 & | & 7 \\
1 & -4 & 0 & 0 & 6 & -7 & | & -1 \\
\end{pmatrix}[/m]
2 строку умножаем на -1.
Умножаем 1 строку на -1 и складываем с 3 строкой:
[m]\begin{pmatrix}
1 & -4 & 2 & 0 & 4 & -3 & | & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & | & -7 \\
0 & 0 & -2 & 0 & 2 & -4 & | & 0 \\
\end{pmatrix}[/m]
Поменяем местами 2 и 3 строки, получим ступенчатую матрицу:
[m]\begin{pmatrix}
1 & -4 & 2 & 0 & 4 & -3 & | & -1 \\
0 & 0 & -2 & 0 & 2 & -4 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & | & -7 \\
\end{pmatrix}[/m]
2 строку сокращаем на 2:
[m]\begin{pmatrix}
1 & -4 & 2 & 0 & 4 & -3 & | & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 1 & -2 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & | & -7 \\
\end{pmatrix}[/m]
Запишем в виде системы:
{ x1 - 4*x2 + 2*x3 + 0*x4 + 4*x5 - 3*x6 = -1
{ 0*x1 + 0*x2 - x3 + 0*x4 + x5 - 2*x6 = 0
{ 0*x1 + 0*x2 + 0*x3 + x4 + 2*x5 + 2*x6 = -7
Базисные переменные: x1, x3, x4 (первые ненулевые в строках).
Свободные переменные: x2, x5, x6.
Выразим базисные переменные через свободные:
x4 = -7 - 2*x5 - 2*x6
x3 = x5 - 2*x6
x1 = -1 + 4*x2 - 2*x3 - 4*x5 + 3*x6
Подставляем в последнее равенство второе равенство:
x1 = -1 + 4*x2 - 2(x5 - 2*x6) - 4*x5 + 3*x6
x1 = -1 + 4*x2 - 2*x5 + 4*x6 - 4*x5 + 3*x6
x1 = -1 + 4*x2 - 6*x5 + 7*x6
Получаем:
x1 = -1 + 4*x2 - 6*x5 + 7*x6
x2 = 0 + x2 + 0*x5 + 0*x6
x3 = 0 + 0*x2 + x5 - 2*x6
x4 = -7 + 0*x2 - 2*x5 - 2*x6
x5 = 0 + 0*x2 + x5 + 0*x6
x6 = 0 + 0*x2 + 0*x5 + x6
В ответе обозначаем s = x2, t = x5, u = x6
Ответ:
[m]\begin{bmatrix}
x1 \\
x2 \\
x3 \\
x4 \\
x5 \\
x6 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-1 \\
0 \\
0 \\
-7 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix} + s \begin{bmatrix}
4 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix}
-6 \\
0 \\
1 \\
-2 \\
1 \\
0 \\
\end{bmatrix} + u \begin{bmatrix}
7 \\
0 \\
-2 \\
-2 \\
0 \\
1 \\
\end{bmatrix}[/m]