Задача 74475 Вычислите площадь фигуры ограниченной...

656ad8300d797a6d556c564d

12/2/2023 7:10:39 AM

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями; y = x^2; y=2x-x^2

64c75b82b635261bba022a6f

12/2/2023 7:15:02 AM

★

Нам необходимо найти площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x^2 и y = 2x - x^2. Первым шагом будет поиск точек пересечения этих двух линий. Проставим их равные друг другу: x^2 = 2x - x^2. Получив сумму на одной стороне, получаем 2x^2 = 2x, которое сводится к x^2 = x, откуда следует, что x = 0 или x = 1.

Зная точки пересечения, мы можем найти площадь между двумя кривыми через интеграл, вычитая "нижнюю" функцию из "верхней". В данном случае "верхняя" функция, это y = 2x - x^2, а "нижняя" - y = x^2.

Запишем интеграл:
Area = ∫ от 0 до 1 (2x-x^2-x^2) dx, который преобразуется в:
Area = ∫ от 0 до 1 (2x - 2x^2) dx.

Решим интеграл:
Area = [x^2 - (2/3)x^3] от 0 до 1 = 1^2 - (2/3)*1^3 - (0^2 - (2/3)*0^3) = 1 - 2/3 = 1/3.

Поэтому площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, равна 1/3.