Задача 74349 N232 (б)...
Условие
Решение
[m]\int \frac{20dx}{(x+4)(x^2+4x+20)} [/m]
Решается методом неопределенных коэффициентов.
Раскладываем дробь на сумму дробей:
[m]\frac{20}{(x+4)(x^2+4x+20)} = \frac{A}{x+4} + \frac{Bx+C}{x^2+4x+20}= \frac{A(x^2+4x+20) + (Bx+C)(x+4)}{(x+4)(x^2+4x+20)} =[/m]
[m]= \frac{Ax^2+4Ax+20A + Bx^2+Cx+4Bx+4C}{(x+4)(x^2+4x+20)} =\frac{(A+B)x^2+(4A+4B+C)x+(20A+4C)}{(x+4)(x^2+4x+20)} [/m]
Строим систему уравнений по степеням x:
{ A + B = 0 (коэффициенты при x^2)
{ 4A + 4B + C = 0 (коэффициенты при x)
{ 20A+4C = 20 (свободные члены)
Умножаем 1 уравнение на -4 и складываем со 2 уравнением:
{ A + B = 0
{ -4A - 4B + 4A + 4B + С = 0
{ 20A+4C = 20
Из 2 уравнения:
[b]С = 0[/b]
Из 3 уравнения:
20A + 4*0 = 20
[b]A = 1[/b]
Из 1 уравнения:
B = -A
[b]B = -1[/b]
Получаем сумму:
[m]\frac{20}{(x+4)(x^2+4x+20)} = \frac{1}{x+4} + \frac{-x+0}{x^2+4x+20}= \frac{1}{x+4} - \frac{x}{x^2+4x+20}[/m]
Интеграл от этой разности берется достаточно просто.
[m]\int (\frac{1}{x+4} - \frac{x}{x^2+4x+20})dx = \int \frac{1}{x+4}\ dx - \int \frac{x}{x^2+4x+20}\ dx[/m]
Первый интеграл - табличный:
[m]\int \frac{1}{x+4}\ dx = \ln\ |x+4|[/m]
Второй чуть сложнее.
[m]\int \frac{x}{x^2+4x+20}\ dx = \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2x+4-4}{x^2+4x+20}\ dx = \frac{1}{2} \int (\frac{2x+4}{x^2+4x+20} - \frac{4}{x^2+4x+20})\ dx[/m]
Первый интеграл в этой разности берется заменой:
[m]x^2 + 4x + 20 = t; dt = (2x + 4)dx[/m]
[m]\int \frac{(2x+4)dx}{x^2+4x+20} = \int \frac{dt}{t} = \ln\ |t| = \ln\ |x^2 + 4x + 20|[/m]
Второй интеграл табличный:
[m]\int \frac{4dx}{x^2+4x+20} = \int\frac{4dx}{x^2+4x+4+16} = \int\frac{4dx}{(x+2)^2+4^2} = \frac{4}{4}arctg\frac{x+2}{4} = arctg\frac{x+2}{4}[/m]
Подставляем всё это в наш интеграл и получаем:
[m]\int \frac{20dx}{(x+4)(x^2+4x+20)} = \ln\ |x+4| - \frac{1}{2}(\ln\ |x^2 + 4x + 20| - arctg\frac{x+2}{4}) =[/m]
[m]= \ln\ |x+4| - \frac{1}{2} \cdot \ln\ |x^2 + 4x + 20| + \frac{1}{2} \cdot arctg\frac{x+2}{4} + C[/m]