Задача 74336 Пример 2.22. Функции заданы...
Условие
Решение
{ y = sqrt(1 - t^2)
Здесь проще всего выразить y через x, то есть найти обычное представление функции.
{ t = cos x
{ y = sqrt(1 - t^2)
Получаем:
y = sqrt(1 - cos^2 x)
y = sin x
Теперь находим производные:
y' = cos x
y'' = -sin x
Но можно пойти длинным путем и взять производные в параметрическом виде.
Производная 1 порядка:
[m]y'_{x} = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{dy}{dt} : \frac{dx}{dt}[/m]
{ [m]\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}[/m]
{ [m]\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{1-t^2}} \cdot (-2t) = -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}[/m]
[m]\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} : \frac{dx}{dt} = (-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}) : (-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}) = t[/m]
Производная 2 порядка:
[m]y''_{xx} = \frac{(y'_{x})'_t}{x'_t}[/m]
[m](y'_{x})'_t = t'_{t} = 1[/m]
[m]x'_{t} = \frac{dx}{dt} = -\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}[/m]
[m]y''_{xx} = 1 : (-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}) = -\sqrt{1-t^2}[/m]