Задача 74315 ...
Условие
x^2+4x-2*|x-a|+2-a=0
имеет четыре корня.
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x-a ≥ 0\\x^2+4x-2\cdot (x-a)+2-a=0\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}x-a<0\\x^2+4x-2\cdot (-x+a)+2-a=0\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x-a ≥ 0\\x^2+2x+a+2=0\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}x-a<0\\x^2+6x+2-3a=0\end {matrix}\right.[/m]
Чтобы система имела 4 решения требуется, чтобы каждое квадратное уравнение имело два корня.
А значит дискриминант и первого и второго уравнений одновременно положительны
[m]\left\{\begin {matrix}D_{1}=2^2-4\cdot (a+2)=4-4a-8=-4-4a >0\\D_{2}=6^2-4\cdot (2-3a)=36-8+12a=28+12a>0\end {matrix}\right.[/m]
⇒ [red][m]-\frac{28}{12}< a< -1[/m][/red]
и при этом
корни первого уравнения должны удовлетворять условию
[m]x-a ≥ 0[/m]
корни первого уравнения должны удовлетворять условию
[m]x-a < 0[/m]
x^2+2x+a+2=0 - графиком квадратного трехчлена является парабола, ветви вверх
x_(вершины)=-1
Чтобы корни квадратного уравнения удовлетворяли условию [m]x-a ≥ 0[/m]
вершина должна быть правее а и значение функции в вершине должно быть отрицательным
f(x_(вершины)) <0
(-1)^2+2*(-1)+a+2<0 ⇒ a+1 <0 ⇒ a<-1
[m]\left\{\begin {matrix}-1> a\\ a<-1\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [b]a<-1[/b]
x^2+6x+2-3a=0 - графиком квадратного трехчлена является парабола, ветви вверх
x_(вершины)=-3
Чтобы корни квадратного уравнения удовлетворяли условию [m]x-a < 0[/m]
вершина должна быть левее а и значение функции в вершине должно быть отрицательным
f(x_(вершины)) <0
(-3)^2+6*(-3)+2-3а<0 ⇒-7-3a <0 ⇒ a>-7/3
[m]\left\{\begin {matrix}-3 < a\\ a>-7/3\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [b]a>-7/3[/b]
[m]-\frac{28}{12}=-\frac{7}{3}[/m]
Найденные ограничения не повлияли на ответ:
О т в е т. [m]-\frac{7}{3}< a< -1[/m]