Задача 74300 Прошу помочь с решением, спасибо????????...
Условие
Решение
2 & 3 & 1 \\
4 & -1 & 5 \\
1 & -2 & 4 \\
\end{bmatrix}[/m]
Сначала найдем определитель |A|.
Если он |A| = 0, то A^(-1) не существует.
[m]|A|=\begin{vmatrix}
2 & 3 & 1 \\
4 & -1 & 5 \\
1 & -2 & 4 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 2(-1)*4 + 1*4(-2) + 1*3*5 - 1(-1)*1 - 4*3*4 - 2*5(-2) =
= -8 - 8 + 15 + 1 - 48 + 20 = -28
Теперь надо составить матрицу из миноров данной матрицы.
Минор элемента матрицы - это определитель матрицы 2х2, которая получится, если вычеркнуть строку и столбец с данным элементом.
Например, для числа A(1; 1) = 2, минор будет:
[m]M(1;1) =\begin{vmatrix}
-1 & 5 \\
-2 & 4 \\
\end{vmatrix} = (-1) \cdot 4 - 5(-2) = -4 + 10 = 6[/m]
Я не буду расписывать все миноры, напишу сразу матрицу миноров:
[m]M = \begin{bmatrix}
6 & 11 & -7 \\
14 & 7 & -7 \\
16 & 6 & -14 \\
\end{bmatrix}[/m]
Теперь делаем из матрицы миноров матрицу алгебраических дополнений.
Для этого нужно поменять знаки у элементов матрицы миноров,
у которых сумма номера строки и столбца - нечетная.
То есть у элементов M(1; 2); M(2; 1); M(2; 3); M(3; 2). Получится:
[m]A_{\cdot} = \begin{bmatrix}
6 & -11 & -7 \\
-14 & 7 & 7 \\
16 & -6 & -14 \\
\end{bmatrix}[/m]
Теперь нужно транспонировать эту матрицу дополнений, то есть поменять местами строки и столбцы:
[m]A_{\cdot}^{T} = \begin{bmatrix}
6 & -14 & 16 \\
-11 & 7 & -6 \\
-7 & 7 & -14 \\
\end{bmatrix}[/m]
Осталось разделить каждый элемент этой матрицы на число
[m]\frac{1}{|A|} = -\frac{1}{28}[/m]. Окончательно получаем:
[m]A^{-1} = \begin{bmatrix}
-6/28 & 14/28 & -16/28 \\
11/28 & -7/28 & 6/28 \\
7/28 & -7/28 & 14/28 \\
\end{bmatrix}[/m]
Можно сократить некоторые дроби, но я не буду, чтобы потом не возиться с приведением к общему знаменателю.
Теперь надо проверить, что A*A^(-1) = E
[m]\begin{bmatrix}
2 & 3 & 1 \\
4 & -1 & 5 \\
1 & -2 & 4 \\
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
-6/28 & 14/28 & -16/28 \\
11/28 & -7/28 & 6/28 \\
7/28 & -7/28 & 14/28 \\
\end{bmatrix} =[/m]
[m]= \begin{bmatrix}
\frac{2(-6)+3 \cdot 11 + 1 \cdot 7}{28} & \frac{2 \cdot 14 +3(-7) + 1(-7)}{28} & \frac{2(-16)+3 \cdot 6 + 1 \cdot 14}{28} \\
\frac{4(-6)-1 \cdot 11 + 5 \cdot 7}{28} & \frac{4 \cdot 14 -1(-7) + 5(-7)}{28} & \frac{4(-16)-1 \cdot 6 + 5 \cdot 14}{28} \\
\frac{1(-6)-2 \cdot 11 + 4 \cdot 7}{28} & \frac{1 \cdot 14 -2(-7) + 4(-7)}{28} & \frac{1(-16)-2 \cdot 6 + 4 \cdot 14}{28} \\
\end{bmatrix} =[/m]
[m]= \begin{bmatrix}
\frac{-12+33 + 7}{28} & \frac{28 -21 -7}{28} & \frac{-32+18 + 14}{28} \\
\frac{-24-11 + 35}{28} & \frac{56 +7 - 35}{28} & \frac{-64-6 + 70}{28} \\
\frac{-6-22 + 28}{28} & \frac{14 +14 -28}{28} & \frac{-16-12 + 56}{28} \\
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
\frac{28}{28} & \frac{0}{28} & \frac{0}{28} \\
\frac{0}{28} & \frac{28}{28} & \frac{0}{28} \\
\frac{0}{28} & \frac{0}{28} & \frac{28}{28} \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix} = E[/m]
Таким образом, мы доказали, что A*A^(-1) = E
То, что A^(-1)*A = E, доказывается аналогично.
Напишите это сами, пожалуйста.