Задача 74156 Определить при каком "k" прямая...

6558bc12b16b5471ac0a9e3b

11/18/2023 1:45:07 PM

Определить при каком "k" прямая (2х–у+z–3=0, x+4y+3z–2=0) перпендикулярна прямой (х–1)/3=(у+4)/k=(z–1)/–1

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11/18/2023 8:05:43 PM

★

Из общего уравнения плоскости Ax+By+Cz+D=0 легко найти координаты нормального вектора плоскости

vector{N}={A;B;C}

Первая прямая задана как линия пересечения двух плоскостей, заданных общими уравнениями
{2x-y+z-3=0
{x+4y+3z-2=0

и значит нам известны координаты нормального вектора каждой плоскости

vector{N_(1)}={2;-1;1}

vector{N_(2)}={1;4;3}

тогда
vector{s_(1)}=[vector{N_(1)},vector{N_(2)}] - направляющий вектор первой прямой

vector{s_(1)}=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-1&1\\1&4&3\end {vmatrix}=-3 \vec{i}+\vec{j}+8\vec{k}+\vec{k}-4\vec{i}-6\vec{j}=-7\vec{i}-5\vec{j}+9\vec{k}[/m]

Вторая прямая задана каноническим уравнением

vector{s_(2)}=( 3;k:-1 )- направляющий вектор второй прямой


Прямые взаимно перпендикулярны ⇔ vector{s_(1)} ⊥ vector{s_(2)} ⇒
vector{s_(1)} * vector{s_(2)}=0 - скалярное произведение векторов равно 0

Векторы заданы координатами, значит

-7*3+(-5)*k+9*(-1)=0

-5k=30

[b]k=-6[/b]