Задача 74142 Случайная величина Х имеет следующую...
Условие
Решение
Так как [m]f(x)=F `(x)[/m]
[m]f(x)=\left\{\begin{matrix}
ln4\cdot (2^{x})`,если x ≤ -1\\0, если x > -1\end{matrix}\right.[/m]
[m]f(x)=\left\{\begin{matrix}
ln4\cdot 2^{x}\cdot ln2,если x ≤ -1\\0, если x > -1\end{matrix}\right.[/m]
[m]f(x)=\left\{\begin{matrix}
2ln^22\cdot 2^{x},если x ≤ -1\\0, если x > -1\end{matrix}\right.[/m]
[b] Свойство плотности:[/b]
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)dx=1[/m]
Так как функция задана на двух промежутках, то
[m]∫ ^{+ ∞ }_{- ∞}f(x)dx=∫ ^{-1 }_{- ∞}2ln^22\cdot 2^{x}dx+∫ ^{+ ∞ }_{-1}0dx=[/m]
[m]=2ln^22\cdot (\frac{2^{x}}{ln2})|^{-1 }_{- ∞}+0=2ln2(2^{-1}-2^{-∞})=ln2-0=ln2 [/m]
[m]ln2 ≠ 1[/m]
Значит, что-то не так с условием задачи
Пусть
[m]f(x)=\left\{\begin{matrix}ln4\cdot 2^{x},если x ≤ -1\\0, если x > -1\end{matrix}\right.[/m]
[b] Свойство плотности:[/b]
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)dx=1[/m]
Так как функция задана на двух промежутках, то
[m]∫ ^{+ ∞ }_{- ∞}f(x)dx=∫ ^{-1 }_{- ∞}ln4\cdot 2^{x}dx+∫ ^{+ ∞ }_{-1}0dx=[/m]
[m]=ln4\cdot (\frac{2^{x}}{ln2})|^{-1 }_{- ∞}+0=2ln2\frac{(2^{-1}-2^{-∞})}{ln2}=2\cdot \frac{1}{2}-0=1 [/m]
[m]1= 1[/m]- верно
Значит, дана плотность. Найти функцию распределения.
По определению функция распределения :
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx[/m]
[b]При x ≤-1[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }ln4\cdot 2^{x}dx=ln4\cdot (\frac{2^{x}}{ln2})| ^{x}_{- ∞ }=ln4\cdot (\frac{2^{x}}{ln2}-\frac{2^{-∞}}{ln2})=2ln2\cdot(\frac{2^{x}}{ln2}-0)=2\cdot 2^{x}=2^{x+1} [/m]
[b]При x>-1[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{-1}_{- ∞ }ln4\cdot 2^{x}dx+∫ ^{x}_{-1}0dx=2(\frac{x^2}{2})|^{-1}_{0}=1[/m]
Получаем:
[m]F(x)\left\{\begin {matrix}2^{x+1}, x ≤-1\\1, x>-1 \end {matrix}\right.[/m]
b)
[m]P(-1,5 < X < 2)=F(2)-F(-1,5)=2^{2+1}-(2^{-1,5+1}=2^3-2^{-0,5}=8-\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
c)
По определению:
[m]M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на двух промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по двум промежуткам (второй равен 0, так как f(x)=0)
[m]M(X)= ∫ ^{-1 }_{-∞}x\cdot ln4\cdot 2^{x}dx=[/m]
интегрирование по частям
[m]u=x[/m]
[m]dv=2^{x}dx[/m]
[m]du=dx[/m]
[m]v=\frac{2^{x}}{ln2}[/m]
[m]=ln4\cdot ((x\cdot \frac{2^{x}}{ln2})|^{-1 }_{-∞}-∫ ^{-1 }_{-∞}\frac{2^{x}}{ln2}dx)=[/m]
[m]=ln4\cdot (\frac{(-1)\cdot 2^{-1}}{ln2}-lim_{x → - ∞ }\frac{x}{2^{-x}\cdot ln2})-(\frac{2^{x}}{ln^22})|^{-1 }_{-∞}[/m]
применяем правило Лопиталя для вычисления предела:
[m]=ln4\cdot ((\frac{1}{2ln2}-0)-(\frac{2^{-1}}{ln^22}-0))=1-\frac{1}{ln2}[/m]
По формуле:
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=...[/red]
Находим
[m]M(X^2)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x^2\cdot f(x)dx=[/m]
Так как функция задана на двух промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по двум промежуткам (второй равен 0, так как f(x)=0)
[m]= ∫ ^{-1 }_{- ∞ }x^2\cdot (ln4\cdot 2^{x})dx=(...)[/m]
интегрирование по частям [i]два раза[/i]
[m]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=(...)-(1-\frac{1}{ln2})^2[/m]
σ (X)=sqrt(D(X))=