Задача 74125 ...
Условие
Найти: 1) дифференциальную функцию (плотность распределения вероятностей) f(х); 2) математическое ожидание М (Х); 3) дисперсию Д(Х); 4) среднее квадратичное отклонение; 5) построить графики функций F (x ) и f(х). 6) вероятность попадания в интервал (α, β)
Решение
Так как [m]f(x)=F `(x)[/m]
[m]f(x)=\left\{\begin{matrix}
0`,если x ≤ -1\\(\frac{1}{2}(1+x))`, если -1<x ≤ 1\\(1)`, если x > 1\end{matrix}\right.[/m]
[m]f(x)=\left\{\begin{matrix}
0,если x ≤ -1\\\frac{1}{2}, если -1<x ≤ 1\\0, если x > 1\end{matrix}\right.[/m]
[b] Свойство плотности:[/b]
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)dx=1[/m]
Так как функция задана на двух промежутках, то
[m]∫ ^{+ ∞ }_{- ∞}f(x)dx=∫ ^{-1 }_{- ∞}0dx+∫ ^{1 }_{-1}\frac{1}{2}dx+ ∫ ^{+ ∞}_{1}0dx=0+\frac{1}{2}(x)|^{1 }_{-1}+0=1[/m]
верно
2)
По определению:
[m]M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{1 }_{-1}x\cdot (\frac{1}{2})dx=\frac{1}{2}(\frac{x^2}{2})|^{1 }_{-1}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1^2}{2}-\frac{(-1)^2}{2})=0[/m]
3)
По формуле:
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=...[/red]
Находим
[m]M(X^2)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x^2\cdot(\frac{1}{2})dx=[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]=\frac{1}{2}∫ ^{1 }_{-1}x^2dx[=\frac{1}{2}\cdot (\frac{x^3}{3})|^{1 }_{-1}=\frac{1}{2}\cdot(\frac{1^3}{3} -\frac{(-1)^3}{3})=\frac{1}{3}[/m]
Легко сосчитать:
[red][m]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=\frac{1}{3}-(0)^2=\frac{1}{3}[/m][/red]
4)
[m]σ (X)=\sqrt{D(X)}=\frac{1}{\sqrt{3}}[/m]
6)
[m]P(0 < X < 1)=F(1)-F(0)=\frac{1}{2}(1+1)-\frac{1}{2}(1+0)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/m]
5)
