Задача 74120 Плотность распределения непрерывной...
Условие
Решение
Свойство плотности:
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)dx=1[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то
[m]∫ ^{+ ∞ }_{- ∞}f(x)dx=∫ ^{0 }_{- ∞}0dx+∫ ^{1 }_{0}(cx)dx+∫ ^{+ ∞ }_{1}0dx=[/m]
[m]=0+c\cdot( \frac{x^2}{2})|^{1}_{0}=c\cdot (\frac{1^2}{2}-0)=\frac{c}{2}[/m] ⇒
[m]\frac{c}{2}=1[/m]
[m]c=2[/m]
[m]f`(x)=\left\{\begin {matrix}0, x ≤0\\2x, 0 < x ≤1\\0, x > 1\end {matrix}\right.[/m]
По определению:
[m]M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{1 }_{0}x\cdot (2x)dx=∫ ^{1 }_{0}2x^2dx=2(\frac{x^3}{3})|^{1 }_{0}=\frac{2}{3}[/m]
По формуле:
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=...[/red]
Находим
[m]M(X^2)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x^2\cdot(2x)dx=[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]=2∫ ^{1 }_{0}x^3dx[=2(\frac{x^4}{4})|^{1 }_{0}=\frac{1}{2}[/m]
Легко сосчитать:
[red][m]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=\frac{1}{2}-(\frac{2}{3})^2=\frac{1}{18}[/m][/red]
σ (X)=sqrt(D(X))=sqrt(1/18)
По определению функция распределения :
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx[/m]
[b]При x ≤0[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dx=0[/m]
[b]При 0 <x ≤1[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞ }0dx+∫ ^{x}_{0}2xdx=2(\frac{x^2}{2})|^{x}_{0}=x^2[/m]
[b]При x >1 [/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞ }0dx+∫ ^{1}_{0}(2x)dx+∫ ^{x}_{1}(0)dx=0+2(\frac{x^2}{2})|^{x}_{0}+0=1[/m]
Получаем:
[m]F(x)\left\{\begin {matrix}0, x ≤0\\x^2,0 < x ≤ 1\\1, x>1 \end {matrix}\right.[/m]
[m]P(\frac{1}{9} < X < \frac{1}{4})=F(\frac{1}{4})-F(\frac{1}{9})=(\frac{1}{4})^2-(\frac{1}{9})^2=...[/m] считайте