Задача 74068 Решите по-братски...
Условие
Решение
1) Если площадь основания конуса:
S(осн) = πR^2 = 2π см^2
То радиус основания: R = sqrt(2) см, D = 2sqrt(2) см.
Осевое сечение конуса - это равнобедренный треугольник.
Если его площадь:
S(сеч) = D*H/2 = 2sqrt(2)*H/2 = 4π см^2
То высота конуса: H = 4π/sqrt(2) = 2π*sqrt(2) см.
2) Осевое сечение конуса - это равнобедренный треугольник.
Его боковая сторона (образующая) L = 2 см наклонена под 75° к плоскости основания (угол показан зеленым).
Треугольник OBC - прямоугольный с гипотенузой L = 2 см и углами
B = 75° и C = 15°
Его катеты:
[m]OB = L \cdot sin 15° = \frac{2\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}[/m]
[m]OC = L \cdot sin 75° = \frac{2\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} = \sqrt{2 + \sqrt{3}}[/m]
Площадь сечения:
[m]S(сеч) = 2 \cdot \frac{OB \cdot OC}{2} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}\sqrt{2 + \sqrt{3}} = [/m]
[m] =\sqrt{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \sqrt{4-3} = 1[/m] см^2
3) Осевое сечение конуса - это равнобедренный треугольник.
Если он еще и прямоугольный, то угол C = 90° (показан синим).
Диаметр основания - это гипотенуза, D = 14 см.
Значит, катеты L = 14/sqrt(2) = 14sqrt(2)/2 = 7sqrt(2) см.
Площадь сечения:
[m]S(сеч) = \frac{AC \cdot BC}{2} = \frac{7\sqrt{2} \cdot 7\sqrt{2}}{2} = \frac{49 \cdot 2}{2} = 49[/m] см^2
4) Если осевое сечение конуса - правильный, то есть равносторонний треугольник, то:
H = a*sqrt(3)/2 = 6 см
Отсюда:
a = D = L = 6*2/sqrt(3) = 12sqrt(3)/3 = 4sqrt(3) см.
Площадь сечения:
[m]S(сеч) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}[/m] см^2