Задача 74000 Прямая задана как линия пересечения двух...
Условие
плоскостей. Написать канонические и параметрические
уравнения прямой в пространстве. Определить косинусы углов
прямой с координатными осями.
x-2y-z-1=0, 3x-y+z-2=0
Решение
{ x - 2y - z - 1 = 0
{ 3x - y + z - 2 = 0
Они пересекаются по какой-то прямой. Найдем две точки этой прямой.
1) Возьмем z = 1
{ x - 2y - 2 = 0
{ 3x - y - 1 = 0
Умножаем 2 уравнение на -2:
{ x - 2y - 2 = 0
{ -6x + 2y + 2 = 0
Складываем уравнения:
-5x = 0
x = 0
y = 3x - 1 = 3*0 - 1 = -1
Нашли точку [b]A(0; -1; 1)[/b]
2) Возьмем z = -4
{ x - 2y + 3 = 0
{ 3x - y - 6 = 0
Умножаем 2 уравнение на -2:
{ x - 2y + 3 = 0
{ -6x + 2y + 12 = 0
Складываем уравнения:
-5x + 15 = 0
x = 3
y = 3x - 6 = 3*3 - 6 = 3
Нашли точку [b]B(3; 3; -4)[/b]
Скажу честно - я не сразу нашел эти точки.
Потратил минут 15, на подбор z, чтобы все числа были целыми.
Уравнение прямой по двум точкам:
(x-0)/(3-0) = (y+1)/(3+1) = (z-1)/(-4-1)
Каноническое уравнение:
x/3 = (y+1)/4 = (z-1)/(-5)
Чтобы найти параметрические уравнения, приравняем дроби к t.
x/3 = (y+1)/4 = (z-1)/(-5) = t
Отсюда получаем систему:
{ x = 3t
{ y = 4t - 1
{ z = -5t + 1
Косинусы углов между этой прямой и координатными осями.
Ось Ox имеет уравнение: x/1 = y/0 = z/0
Ось Oy имеет уравнение: x/0 = y/1 = z/0
Ось Oz имеет уравнение: x/0 = y/0 = z/1
Косинусы углов:
cos φ(x) = (3*1 + 4*0 + (-5)*0)/(sqrt(3^2+4^2+(-5)^2)*sqrt(1^2+0^2+0^2)) =
= 3/(sqrt(9+16+25)*sqrt(1)) = 3/sqrt(50) = 3*sqrt(2)/10
cos φ(y) = (3*0 + 4*1 + (-5)*0)/(sqrt(3^2+4^2+(-5)^2)*sqrt(0^2+1^2+0^2)) =
= 4/(sqrt(9+16+25)*sqrt(1)) = 4/sqrt(50) = 4*sqrt(2)/10
cos φ(z) = (3*0 + 4*0 + (-5)*1)/(sqrt(3^2+4^2+(-5)^2)*sqrt(0^2+0^2+1^2)) =
= -5/(sqrt(9+16+25)*sqrt(1)) = -5/sqrt(50) = -5*sqrt(2)/10 = -sqrt(2)/2