Задача 73983 Вычислить интеграл с точностью 0,0001. ...

654c9284a98a062a8f20da97

11/9/2023 8:58:18 AM

Вычислить интеграл с точностью 0,0001.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11/9/2023 10:37:08 AM

★

[m]ln(5+x^6)=ln(5(1+\frac{x^6}{5}))=ln5+ln(1+\frac{x^6}{5})=ln5+\frac{x^6}{5}-\frac{(\frac{x^6}{5})^2}{2!}+\frac{(\frac{x^6}{5})^3}{3!}-...=ln5+\frac{x^6}{5}-\frac{x^{12}}{50}+\frac{x^{18}}{750}-...[/m]


[m] ∫^{0,5} _{0}ln(5+x^6)dx=∫^{0,5} _{0}(ln5+\frac{x^6}{5}-\frac{x^{12}}{50}+\frac{x^{18}}{750}-...)dx=((ln5)\cdot x+\frac{x^7}{35}-\frac{x^{13}}{650}+...)|^{0,5} _{0}=((ln5)\cdot 0,5+\frac{0,5^7}{35}-\frac{0,5^{13}}{650}+...)[/m]

Так как получили числовой знакочередующийся ряд, то погрешность при замене ряда суммой нескольких слагаемых не превышает модуля первого отброшенного слагаемого

[m]|\frac{0,5^{13}}{650}| =\frac{5}{13}\cdot 10^{-14}< 0, 0001[/m]

достаточно взять два слагаемых

[m] ∫^{0,5} _{0}ln(5+x^6)dx=(ln5)\cdot 0,5+\frac{0,5^7}{35}=[/m] считайте