Задача 73978 вычислите площадь y=4x+x^2, y=0...

654c6c13a98a062a8f20d9d7

11/9/2023 5:20:52 AM

вычислите площадь y=4x+x^2, y=0

5f282cfba9074b3a3bc0f013

11/9/2023 7:30:24 AM

★

Чтобы найти площадь между кривой y=4x+x^2 и осью x (то есть, линией y=0), нам нужно просто перемножить значение функции y на длину x-интервала.

Для начала найдем границы интервала по x, для которого y=4x+x^2 больше нуля. Решаем уравнение 4x+x^2 = 0:

1) x^2 + 4x = 0

2) x(x+4) = 0

Таким образом, корни уравнения: x1=0, x2=-4.

У нас получается, что площадь под кривой находим интеграл от x=-4 до x=0.

Вычислим этот интеграл:

1) ∫(4x+x^2)dx от -4 до 0.

2) Чтобы это выполнить, мы разбиваем интеграл на два: ∫4xdx + ∫x^2dx.

3) Формула для вычисления интегралов гласит: антипроизводная от x^n равна (1/n+1)*x^(n+1).

4) Используем формулу для каждого из интегралов: 4*(1/2)x^2 = 2x^2 для первого и (1/3)x^3 для второго интеграла.

5) Теперь у нас есть функция 2x^2 + (1/3)x^3, которую мы должны оценить на пределах от -4 до 0.

6) Подставим пределы в эту функцию: [2*0^2 + (1/3)*0^3] - [2*(-4)^2 + (1/3)*(-4)^3].

7) После выполнения всех вычислений получим: 0 - 32/3 = -32/3.

Ответ: Площадь между y=4x+x^2 и осью x равна 32/3 или примерно 10.67 единиц.