Задача 73974 y"–5y'+6y=0...
Условие
Решение
Дифференциальное уравнение второго порядка: y'' - 5y' + 6y = 0
Решение:
Сначала найдем корни характеристического уравнения, которое получается из дифференциального уравнения, заменив производные на множители:
m^2 - 5m + 6 = 0.
Формула для решения квадратного уравнения выглядит так:
m = (−b ± sqrt(b^2 − 4ac)) / 2a,
где a = 1 (коэффициент при m^2), b = -5 (коэффициент при m), c = 6 (свободный член).
Подставим коэффициенты в формулу:
m1,2 = (5 ± sqrt((-5)^2 - 4*1*6)) / (2*1),
m1,2 = (5 ± sqrt(25 - 24)) / 2,
m1,2 = (5 ± sqrt(1)) / 2.
Получаем два корня: m1 = 3 и m2 = 2.
Теперь, в общем случае решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:
y = C1 * e^(m1 * x) + C2 * e^(m2 * x),
где C1 и C2 - произвольные константы.
Подставим найденные корни:
y = C1 * e^(3x) + C2 * e^(2x).
Таким образом, мы нашли общее решение дифференциального уравнения.
Ответ:
y = C1 * e^(3x) + C2 * e^(2x).