Задача 73957 Найти область сходимости функционального...
Условие
Решение
Ряд из модулей:
[m]\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)(2n-1)!}[/m]
Находим его сходимость по признаку Даламбера.
Заметим, что:
2(n+1) - 1 = 2n+2-1 = 2n+1;
x^(2n+1) = x^(2n-1)*x^2;
(2n+1)! = (2n-1)!*(2n)*(2n+1)
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!} : \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)(2n-1)!} =[/m]
[m]= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^{2n-1} \cdot x^2}{(2n+1)(2n-1)!(2n)(2n+1)} \cdot \frac{(2n-1)(2n-1)!}{x^{2n-1}} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^{2n-1} \cdot x^2(2n-1)(2n-1)!}{(2n+1)(2n-1)!(2n)(2n+1)x^{2n-1}} =[/m]
[m]= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{x^2(2n-1)}{(2n+1)(2n)(2n+1)} = x^2 \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{2n-1}{(2n+1)(2n)(2n+1)} = x^2 \cdot \lim \limits_{n \to \infty} \frac{2n-1}{8n^3+8n^2+2n}= 0 < 1[/m]
Так как предел меньше 1 при любом x, то область абсолютной сходимости:
Ответ: x ∈ (-oo; +oo)