Задача 73955 y''-2y'+37y = 36e^x cos6x ...
Условие
Решение
Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
y’’ -2y’ + 37y =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+37=0
D=(-2)^2-4*37=4*(1-37)=4*(-36)
k_(1)=(2-12i)/2; k_(2)=(2+12i)/2
k_(1)=1-6i; k_(2)=1+6i– корни комплексно– сопряженные
α =1
β =6
Общее решение однородного имеет вид:
y_(общее одн.)=e^(α x)·(С_(1)·cosβx+C_(2)·sinβx)
y_(общее одн.)[m]=e^{x}\cdot (C_{1}cos6x+C_{2}sin6x)[/m] - общее решение однородного уравнения
Правая часть
f(x)=36e^(x)cos6x - специального вида
Поэтому частное решение имеет вид:
y_(частное) = x*e^(x)*(A*cos6x+B*sin6x)
Находим
y`_(частное) =(x*e^(x))`*(A*cos6x+B*sin6x)+x*e^(x)*(A*cos6x+B*sin6x)`=(e^(x)+xe^(x))*(A*cos6x+B*sin6x)+x*e^(x)*(-6A*sin6x+6B*cos6x)=(A+Ax+6Bx)*e^(x)*cos6x+(B+Bx-6A)*e^(x)*sin6x
y``_(частное) =((A+Ax+6Bx)`*e^(x)+(A+Ax+6B)*e^(x))*cos6x+(A+Ax+6Bx)*e^(x)*(cos6x)`+((B+Bx-6A)`*e^(x)+(B+Bx-6A)*e^(x))*sin6x+
(B+Bx-6A)*e^(x)*(sin6x)`=
Подставляем в данное неоднородное уравнение:
12B*e^(x)cos6x-12Ae^(x)sin6x=36*e^(x)*cos6x
{12B=36
{-12A=0
⇒ B=3
y_(частное) = x*e^(x)*(0*cos6x+3*sin6x)
⇒
y_(частное) =[b]3* x*e^(x)*sin6x[/b]
y_(общее неодн)=y_(общее одн)+y_(частное)=[m]e^{x}\cdot (C_{1}cos6x+C_{2}sin6x)[/m]+[b]3* x*e^(x)*sin6x[/b]
[red]2 часть работы.[/red]
Найти решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
y(0)=0 ⇒ y(0)=[m]e^{0}\cdot (C_{1}cos0+C_{2}sin0)[/m]+[b]3* 0*e^(0)*sin0[/b] ⇒ 0=C_(1)
y`(0)=6 ⇒ y`=[m](e^{x})`\cdot (C_{1}cos6x+C_{2}sin6x)+e^{x}\cdot (C_{1}cos6x+C_{2}sin6x)`[/m]+[b](3* x*e^(x)*sin6x)`[/b]
y`=[m]e^{x}\cdot (C_{1}cos6x+C_{2}sin6x)+e^{x}\cdot (C_{1}\cdot (-6sin6x)+C_{2}\cdot 6 cos6x)[/m]+[b]3*(e^(x)+ x*e^(x))*sin6x+3*x*e^(x)*6cos6x[/b]
y`(0)=[m]e^{0}\cdot (C_{1}cos0+C_{2}sin0)+e^{0}\cdot (C_{1}\cdot (-6sin0)+C_{2}\cdot 6 cos0)[/m]+[b]3*(e^(0)+ 0*e^(0))*sin0+3*0*e^(0)*6cos0[/b]
6=[m] C_{1}+6C_{2}[/m]+[b]0[/b] ⇒ [m]C_{2}=1[/m]
О т в е т. y=[m]e^{x}\cdot 6sin6x[/m]+[b]3* x*e^(x)*sin6x[/b]