Задача 73948 Даны уравнения одной из сторон ромба 2x...

6547620cc8fbae7b59f2b4d1

11/7/2023 10:55:54 AM

Даны уравнения одной из сторон ромба 2x – 5y – 1 = 0 и одной из его диагона–
лей x + 3y – 6 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке P(7,5; –0,5). Найти уравне–
ния остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

626fab9a354ab65fb2f43abb

11/7/2023 1:45:00 PM

★

Уравнение стороны ромба:
2x - 5y - 1 = 0
Уравнение диагонали ромба:
x + 3y - 6 = 0
Точка пересечения диагоналей: P(7,5; -0,5)

Найдем вершину ромба, где пересекаются сторона и диагональ:
{ 2x - 5y - 1 = 0
{ x + 3y - 6 = 0
Решаем заменой:
{ x = 6 - 3y
{ 2(6 - 3y) - 5y - 1 = 0
12 - 6y - 5y - 1 = 0
11 - 11y = 0
y = 1
x = 6 - 3y = 3
[b]A(3; 1)[/b]

Найдем уравнение второй диагонали. Она перпендикулярна первой и проходит через точку P(7,5; -0,5):
3(x - 7,5) - (y + 0,5) = 0
3x - 22,5 - y - 0,5 = 0
3x - y - 23 = 0

Найдем точку пересечения известной стороны и этой диагонали:
{ 2x - 5y - 1 = 0
{ 3x - y - 23 = 0
Решаем заменой:
{ y = 3x - 23
{ 2x - 5(3x - 23) - 1 = 0
2x - 15x + 115 - 1 = 0
-13x + 114 = 0
x = 114/13 = 8 10/13
y = 3x - 23 = 342/13 - 23 = (342 - 299)/13 = 43/13 = 3 4/13
Но я предпочитаю писать неправильными дробями:
[b]B(114/13; 43/13)[/b]

Найдем точку С, которая противоположна точке А, то есть находится на диагонали x + 3y - 6 = 0 на таком же расстоянии от точки P.
xC = xP - (xA - xP) = 2*xP - xA = 15 - 3 = 12
yC = yP - (yA - yP) = 2*yP - yA = -1 - 1= -2
[b]C(12; -2)[/b]

Найдем точку D, которая противоположна точке B, то есть находится на диагонали 3x - y - 23 = 0 на таком же расстоянии от точки P.
xD = xP - (xB - xP) = 2*xP - xB = 15 - 114/13 = (195 - 114)/13 = 81/13
yD = yP - (yB - yP) = 2*yP - yB = -1 - 43/13 = (-13-43)/13 = -56/13
[b]D(81/13; -56/13)[/b]

Уравнения сторон по двум точкам:
(AB) : (x - 114/13) / (3 - 114/13) = (y - 43/13) / (1 - 43/13)
(x - 114/13) / (39/13 - 114/13) = (y - 43/13) / (13/13 - 43/13)
(x - 114/13) / (-75/13) = (y - 43/13) / (-30/13)
Умножаем левую и правую части на -13
(13x - 114)/75 = (13y - 43)/30
По правилу пропорции:
30(13x - 114) = 75(13y - 43)
Сокращаем на 15:
2*13x - 228 = 5*13y - 215
2*13x - 5*13y - 13 = 0
[b](AB) : 2x - 5y - 1 = 0[/b]

(BC) : (x - 114/13) / (12 - 114/13) = (y - 43/13) / (-2 - 43/13)
(x - 114/13) / (156/13 - 114/13) = (y - 43/13) / (-26/13 - 43/13)
(x - 114/13) / (42/13) = (y - 43/13) / (-69/13)
(13x - 114) / 42 = (13y - 43) / (-69)
-69(13x - 114) = 42(13y - 43)
-69*13x + 7866 = 42*13y - 1806
Здесь удобнее перенести всё направо, чтобы x и y были с плюсами.
0 = 69*13x + 42*13y - 9672
69*13x + 42*13y - 744*13 = 0
69x + 42y - 744 = 0
Сокращаем на 3:
[b](BC) : 23x + 14y - 248 = 0[/b]

(CD) : (x - 81/13) / (12 - 81/13) = (y + 56/13) / (-2 + 56/13)
(x - 81/13) / (156/13 - 81/13) = (y + 56/13) / (-26/13 + 56/13)
(x - 81/13) / (75/13) = (y + 56/13) / (30/13)
(13x - 81) / 75 = (13y + 56) / 30
30(13x - 81) = 75(13y + 56)
Сокращаем на 15:
2*13x - 162 = 5*13y + 280
2*13x - 5*13y - 442 = 0
2*13x - 5*13y - 34*13 = 0
[b](CD) : 2x - 5y - 34 = 0[/b]

(AD) : (x - 81/13) / (3 - 81/13) = (y + 56/13) / (1 + 56/13)
(x - 81/13) / (39/13 - 81/13) = (y + 56/13) / (13/13 + 56/13)
(x - 81/13) / (-42/13) = (y + 56/13) / (69/13)
(13x - 81) / (-42) = (13y + 56) / 69
69(13x - 81) = -42(13y + 56)
69*13x - 5589 = -42*13y - 2352
69*13x + 42*13y - 3237 = 0
69*13x + 42*13y - 249*13 = 0
69x + 42y - 249 = 0
Опять сокращаем на 3:
[b](AD) : 23x + 14y - 83 = 0[/b]