Задача 73927 провести полное исследование функции и...
Условие
Решение
D(y)= (– ∞;-5)U(0;+ ∞ )
Прямая x=-5 - вертикальная асимптота, так как lim_(x → -5-0)f(x)= +∞
Прямая x=0 - вертикальная асимптота, так как lim_(x → -0)[m](ln\frac{x}{x+5}-1)[/m] = +∞
Прямая y=1 - горизонтальная асимптота, так как lim_(x → ∞ )[m](ln\frac{x}{x+5}-1)[/m] = 1
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как область определения не симметрична относительно нуля.
Находим производную:
[m]y`=\frac{1}{\frac{x}{x+5}}\cdot (\frac{x}{x+5})`=[/m]
[m]y`=\frac{x+5}{x}\cdot \frac{x`\cdot (x+5)-x\cdot (x+5)`}{(x+5)^2}[/m]
[m]y`=\frac{x+5}{x}\cdot \frac{x+5-x}{(x+5)^2}[/m]
[m]y`=\frac{5}{x\cdot (x+5)}[/m]
Знак производной на области определения:
____+____ (-5) ________ (0) ____+___
y` > 0 на (– ∞;-5) и на (0;+ ∞ )
Функция [i]возрастает[/i] на (– ∞;-5) и на (0;+ ∞ )
График см. рис.