Задача 73919 Исследовать методами дифференциального...
Условие
построить их графики.
Решение
Область определения функции
D(y)=(- ∞ ;0) U(0; 4)U(4;+ ∞ )
2.
Область изменения функции E(y) =(-∞ ;0)U(0; + ∞ )
см. рис.
3.
Чётность или нечётность функции
функция не является ни чЁтной ни нечЁтной, так как область определения не симметрична относительно нуля.
4.
перИодичность - непериодическая
5.
Нули функции
y=0
[m]\frac{16}{x^2\cdot (x-4)}=0[/m]
Уравнение не имеет корней
Точек пересечения с осью Ох нет.
Точек пересечения с осью Оу нет ( х=0 не входит в область определения)
6.
интервалы знака постоянства
___-__ (0) __-__( 4) ____+__
y > 0 при x > 4
y < 0 при - ∞ < x < 0 и при 0 < x < 4
[b]Исследование функции с помощью теории пределов [/b]
7.
непрерывность функции
Функция непрерывна на области определения как частное непрерывных функций
x=0; x=4- точки разрыва
lim_(x→-0)[m]\frac{16}{x^2\cdot (x-4)}[/m]=[m]\frac{16}{(-0)^2\cdot (0-4)}=-∞[/m]
lim_(x→+0)[m]\frac{16}{x^2\cdot (x-4)}[/m]=[m]\frac{16}{0^2\cdot (0-4)}=-∞[/m]
х=0 - точка разрыва второго рода
lim_(x→4-0)[m]\frac{16}{x^2\cdot (x-4)}[/m]=[m]\frac{16}{(4-0)^2\cdot ((4-0)-4)}=-∞[/m]
lim_(x→4+0)[m]\frac{16}{x^2\cdot (x-4)}[/m]=[m]\frac{16}{0^2\cdot ((4+0)-4)}=+∞[/m]
х=4 - точка разрыва второго рода
поведение функции на бесконечности
lim_(x→-∞) [m]\frac{16}{x^2\cdot (x-4)}[/m] =-0
lim_(x→ +∞)[m]\frac{16}{x^2\cdot (x-4)}[/m]=+0
9.
Асимптоты графика функции
y=0 - горизонтальная асимптота.
х=0 - вертикальная асимптота
х=4 - вертикальная асимптота
[b]Исследование функции с помощью производной[/b]
y`=[m]-\frac{16}{(x^2\cdot (x-4))^2}\cdot (x^2\cdot (x-4))`[/m]
y`=[m]-\frac{16}{(x^2\cdot (x-4))^2}\cdot ((x^2)`\cdot (x-4)+x^2\cdot (x-4)`)[/m]
y`=[m]-\frac{16}{(x^2\cdot (x-4))^2}\cdot ((2x)\cdot (x-4)+x^2\cdot 1)[/m]
y`=[m]-\frac{16}{(x^2\cdot (x-4))^2}\cdot (2x^2-8x+x^2)[/m]
y`=[m]-\frac{16}{(x^2\cdot (x-4))^2}\cdot (3x^2-8x)[/m]
y`=0
x= 8/3
Знак производной на области определения
_____-____ (0) ___+___ (8/3) ___-___ (4) ______+_____
Возрастает на (0 ;8/3) и на (4; + ∞ )
Убывает на (- ∞ ; 0) и на (8/3; 4)
х= 8/3 - точка максимума
y(8/3)=[m]\frac{16}{(\frac{8}{3})^2\cdot (\frac{8}{3}-4)}=-\frac{27}{16}[/m]
См. рис.1
