Задача 73889 Составить уравнение линии, каждая точка...

65427be66a3d934b9615c7d0

11/1/2023 4:27:17 PM

Составить уравнение линии, каждая точка M
которой удовлетворяет заданным условиям:

Отношение расстояний от точки M
до точек A(2,3) и B(-1,2) равно 3/4

626fab9a354ab65fb2f43abb

11/2/2023 11:01:15 AM

★

Пусть координаты M(x, y). Расстояния до точек A(2; 3) и B(-1; 2):
|MA| = sqrt((xM - xA)^2 + (yM - yA)^2) = sqrt((x - 2)^2 + (y - 3)^2)
|MB| = sqrt((xM - xB)^2 + (yM - yB)^2) = sqrt((x + 1)^2 + (y - 2)^2)
И эти расстояния относятся друг к другу, как 3 : 4.
|MA| : |MB| = 3 : 4
По свойству пропорции:
4*|MA| = 3*|MB|
Подставляем расстояния:
4*sqrt((x - 2)^2 + (y - 3)^2) = 3*sqrt((x + 1)^2 + (y - 2)^2)
Возводим левую и правую части в квадрат:
16*((x - 2)^2 + (y - 3)^2) = 9*((x + 1)^2 + (y - 2)^2)
16*(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) = 9*(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4)
16*(x^2 - 4x + y^2 - 6y + 13) = 9*(x^2 + 2x + y^2 - 4y + 5)
16x^2 - 64x + 16y^2 - 96y + 208 = 9x^2 + 18x + 9y^2 - 36y + 45
7x^2 - 82x + 7y^2 - 60y + 163 = 0
Остается выделить полные квадраты. Сначала разделим на 7:
x^2 - 2*41/7*x + y^2 - 2*30/7*y + 163/7 = 0
Выделяем квадраты:
(x^2 - 2*x*41/7 + (41/7)^2) - (41/7)^2 + (y^2 - 2*y*30/7 + (30/7)^2) - (30/7)^2 + 1141/7^2 = 0
(x - 41/7)^2 + (y - 30/7)^2 = 1681/7^2 + 900/7^2 - 1141/7^2
(x - 41/7)^2 + (y - 30/7)^2 = 1440/7^2 = (12*sqrt(10)/7)^2
Это окружность с центром A(41/7; 30/7) и радиусом R = 12*sqrt(10)/7