Задача 73850 Найти частные решения (частные интегралы...

6540f8df6a3d934b9615c090

31.10.2023 15:54:20

Найти частные решения (частные интегралы ) уравнения удовлетворяющие указанным начальным условиям: xy''=1, y(1)=0, y'(1)=2

5f282cfba9074b3a3bc0f013

31.10.2023 18:57:17

★

Данное уравнение второго порядка имеет вид: xy'' = 1.

1. Чтобы решить это уравнение, сначала сделаем замену и разделим обе стороны уравнения на x, чтобы упростить его: y'' = 1/x. Выбирая y' как новую переменную, у нас получается следующее уравнение первого порядка: dy'/dx = 1/x.

2. Теперь, этот одномерный интеграл можно легко вычислить интегрированием каждой стороны по dx: ∫dy' = ∫1/x dx. Решение этого интеграла равно: y' = ln(x) + C1.

3. Чтобы избавиться от первой константы, примем решение производной, y’(1) = 2, что дает нам C1 = 2 - ln(1) = 2.

4. Тогда, получаем уравнение y' = ln(x) + 2.

5. Далее, находим первоначальную функцию, интегрируя каждую сторону : ∫ y'dx = ∫ (ln(x) + 2) dx.

6. Итак, можно найти частное решение этого уравнения: y = xln(x) - x + 2x + C2.

7. Чтобы найти подходящую константу C2, используем начальное условие y(1) = 0. Подставив это в наше уравнение, находим: 0 = 1ln(1) - 1 + 2 + C2, что дает С2 = -1.

Таким образом, частным решением уравнения с начальными условиями y(1) = 0, y'(1) = 2 является:

y(x) = x*ln(x) - x + 2*x - 1 = [b]x + xln(x) - 1[/b].