Задача 73844 Решить задачу Коши y"+2y'+2y =0, при у...
Условие
Решение
Однородное линейное диф. уравнение с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение:
k^2 + 2k + 2 = 0
D = 2^2 - 4*1*2 = 4 - 8 = -4 = (2i)^2
k1 = 6(-2 - 2i)/2 = -1 - i; k2 = -1 + i
Общее решение диф. уравнения:
[b]y = e^(-2x)*(C1*cos x + C2*sin x)[/b]
Решаем задачу Коши:
y(0) = e^0*(C1*cos 0 + C2*sin 0) = 1*(C1*1 + C2*0) = C1 = 1
[b]C1 = 1[/b]
y' = -2e^(-2x)*(C1*cos x + C2*sin x) + e^(-2x)*(-C1*sin x + C2*cos x)
y' = e^(-2x)*((-2*C1 + C2)*cos x + (-2*C2 - C1)*sin x)
y'(0) = e^(0)*((-2*C1 + C2)*cos 0 + (-2*C2 - C1)*sin 0) =
= 1*(-2*C1 + C2 + 0) = -2*C1 + C2 = 1
-2*1 + C2 = 1
[b]C2 = 3[/b]
Частное решение диф. уравнения:
[b]y = e^(-2x)*(cos x + 3sin x)[/b]