Задача 73833 Найти общее решение линейного...

653fe6116a3d934b9615be4a

30.10.2023 20:24:19

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
y"+4y'+4y=x

5f3ea7e3faf909182968ddd9

31.10.2023 11:45:34

★

k^2+4k+4=0
(k+2)^2=0
k=-2 - корень характеристического уравнения кратности 2

y=C_(1)*e^(-2x)+C_(2)*x*e^(-2x) - общее решение [i]однородного[/i] уравнения

f(x)=x

Частное решение имеет вид

y_(част)=ax+b

y`_(част)=a
y``_(част)=0

0+4*a+4ax+b=x

4a=1
[b]a=1/4[/b]

4*a+b=0
[b]b=-1[/b]

y=C_(1)*e^(-2x)+C_(2)*x*e^(-2x) +(1/4)x-1 - общее решение [i]неоднородного[/i] уравнения