Задача 73811 12. Составить уравнение прямой AB и...

653f89f9b2e19b7e71410b80

30.10.2023 13:52:51

12. Составить уравнение прямой AB и найти расстояние от точки C до этой прямой, если A(6; 1; 6), B(10; −2; 13), C(5; 2; 4).

5f282cfba9074b3a3bc0f013

31.10.2023 19:20:09

★

Дано: точки A(6; 1; 6), B(10; -2; 13), C(5; 2; 4).

Решение:

Сначала нам нужно составить параметрическое уравнение прямой AB.

Параметрическое уравнение прямой имеет вид: x = x1 + t(a1), y = y1 + t(a2), z = z1 + t(a3).

Здесь (x1, y1, z1) - координаты точки, через которую проходит прямая, а (a1, a2, a3) - направляющий вектор прямой, который может быть найден как разность координат точек B и A: AB = {x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1}. Найдем координаты вектора AB:

AB = {10 - 6; -2 - 1; 13 - 6} = {4, -3, 7};

Тогда параметрические уравнения прямой AB будут выглядеть так:

x = 6 + 4t,
y = 1 - 3t,
z = 6 + 7t.

Затем нам нужно найти расстояние от точки C до прямой AB.

Расстояние от точки до прямой в пространстве равно модулю векторного произведения вектора, идущего от данной точки до какой-либо точки прямой, на направляющий вектор прямой, деленного на модуль направляющего вектора.

Сначала найдем вектор AC = {x1 - x, y1 - y, z1 - z},

где (x, y, z) – координаты точки C:

AC = {6 - 5; 1 - 2; 6 - 4} = {1; -1; 2}.

Теперь найдем векторное произведение векторов AC и AB:

AC x AB = {(AC2*AB3 – AC3*AB2); (AC3*AB1 – AC1*AB3); (AC1*AB2 – AC2*AB1)}
= {(-1*7 - 2*(-3); 2*4 - 1*7; 1*(-3) - (-1)*4} = {-7 + 6; 8 - 7; -3 + 4} = {-1, 1, 1}.

Теперь найдем модули векторов AB и AC x AB:

|AB| = sqrt(4^2 + (-3)^2 + 7^2) = sqrt(16 + 9 + 49) = sqrt(74),
|AC x AB| = sqrt((-1)^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3).

Тогда расстояние от точки C до прямой AB равно:

d = |AC x AB| / |AB| = sqrt(3) / sqrt(74).

Ответ:

Уравнение прямой AB:
x = 6 + 4t,
y = 1 - 3t,
z = 6 + 7t;

Расстояние от точки C до прямой AB: d = sqrt(3) / sqrt(74).