Задача 73799 Найти предел функции....
Условие
математика ВУЗ
58
Решение
★
[m]lim_{x → 0}\frac{tgx-sinx}{sin^33x}=lim_{x → 0}\frac{\frac{sinx}{cosx}-sinx}{sin^33x}=lim_{x → 0}\frac{sinx(\frac{1}{cosx}-1)}{sin^33x}=lim_{x → 0}\frac{sinx\frac{1-cosx}{cosx}}{sin^33x}=lim_{x → 0}\frac{sinx\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{cosx}}{sin^33x}=[/m]
[m]=lim_{x → 0}\frac{sinx\cdot 2sin^2\frac{x}{2}}{sin^33x}\cdot lim_{x → 0}\frac{1}{cosx}=2lim_{x → 0}\frac{sinx}{x}\cdot\frac{1}{3} lim_{x → 0}\frac{3x}{sin3x}\cdot\frac{1}{3} lim_{x → 0}\frac{3x}{sin3x}\cdot\frac{1}{2}\ lim_{x → 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}\ lim_{x → 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{18}[/m]