Задача 73790 ...
Условие
Решение
При x → 0 у → 1^( ∞ )
Логарифмируем функцию
[m]ln y=ln cosx^{\frac{1}{x}}[/m]
Применяем свойство логарифма степени:
[m]ln y=\frac{1}{x}\cdot lg cosx[/m]
Находим предел:
[m]lim_{x →0} ln y=lim_{x →0} ( \frac{1}{x}\cdot lg cosx)=lim_{x →0}\frac{ln cosx}{x} [/m]
или
2 способ:
Представим функцию в виде:
[m]y=e^{ln cosx^{\frac{1}{x}}}[/m]
[m]lim_{x →0} e^{ln cosx^{\frac{1}{x}}}=lim_{x →0} e^{\frac{1}{x}\cdot ln cosx}=e^{lim_{x →0}\frac{lncosx}{x}}= [/m]
Получили то же самое.
Представим [m]ln(cos x)=ln ( cosx-1+1)=ln(-2sin^2\frac{x}{2}+1)[/m]
Применяем следствие 3) второго замечательного предела:
[m] lim_{x → 0}\frac{ln(1+x)}{x}=\frac{1}{lne}=1[/m]
[m] lim_{x → 0}\frac{ln(1-2sin^2\frac{x}{2})}{(-2sin^2\frac{x}{2})}=1[/m]
Значит
[m]lim_{x →0}\frac{ln cosx}{x}=lim_{x →0}\frac{ln(1-2sin^2\frac{x}{2}}{(-2sin^2\frac{x}{2})} \cdot \frac{(-2sin^2\frac{x}{2})}{x}=[/m]
[m]=lim_{x →0}\frac{ln(1-2sin^2\frac{x}{2}}{(-2sin^2\frac{x}{2})}\cdot lim_{x →0}\frac{(-2sin^2\frac{x}{2})}{x}=1\cdot 0=0[/m]
Тогда
[m]lim_{x →0} e^{ln cosx^{\frac{1}{x}}}=lim_{x →0} e^{\frac{1}{x}\cdot ln cosx}=e^{lim_{x →0}\frac{lncosx}{x}}=e^{0}=1 [/m]
