Задача 73786 Написать уравнение касательной и нормали...
Условие
Решение
Шаг 1: Дано уравнение кривой 5y^2-3x^2=17 и точка M(1; -2).
Шаг 2: Найдем производную уравнения: 2*5y*y'=2*3x. Разделим обе стороны на 10: y' = 6x/(10y). Сократим дробь: y' = 3x/(5y).
Шаг 3: Найдем производную в точке M(1; -2). Получим: y'= 3*1/(5*(-2)) = -3/10.
Шаг 4: Используем формулу уравнения прямой: y - y1 = k(x - x1), где k - угловой коэффициент, нам известен как производная y' в точке (в нашем случае равен -3/10), а (x1, y1) - координаты точки, через которую проходит касательная (в нашем случае точка М(1; -2)).
Шаг 5: Подставим известные значения в уравнение: y - (-2) = -3/10* (x - 1), то есть уравнение касательной: y + 2 = -3/10 * (x - 1).
Следовательно, уравнение касательной к кривой 5y^2 - 3x^2 = 17 в точке (1; -2) есть y = -3/10 * x - 1/10.
2. Найти уравнение нормали:
Шаг 1: Использовать факт, что угловой коэффициент нормали (k1) и угловой коэффициент касательной (k) связаны соотношением k * k1 = -1. Получаем k1 = -1/k = -1/(-3/10) = 10/3.
Шаг 2: Вновь использовать формулу уравнения прямой: y - y1 = k1*(x - x1).
Шаг 3: Подставить известные значения в уравнение: y - (-2) = 10/3 * (x - 1), то есть уравнение нормали: y + 2 = 10/3 * (x - 1).
Следовательно, уравнение нормали к кривой 5y^2 - 3x^2 = 17 в точке (1; -2) есть y = 10/3 * x - 14/3.
Ответ: Уравнение касательной: y = -3/10 * x - 1/10. Уравнение нормали: y = 10/3 * x - 14/3.