Задача 73772 Найти границы, пользуясь правилом...

653a4494df8de70c102f42e7

27.10.2023 22:15:42

Найти границы, пользуясь правилом Лопиталя

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.10.2023 22:48:14

★

[m]x-\frac{π}{2}=t[/m] ⇒ [m]x=t+\frac{π}{2}[/m]

[m]x → \frac{π}{2}[/m] ⇒ [m]t →0[/m]


[m]lim_{x → \frac{π}{2}}(tgx)^{2x-π}=lim_{t→ 0}(tg(t+\frac{π}{2}))^{2t}=lim_{t→ 0}(-ctgt))^{2t}=[/m]

Пусть
[m]y=(-ctgt))^{2t}=[/m]

Логарифмируем

[m]lgy=lg(-ctgt))^{2t}[/m] ⇒ [m]lgy=2t\cdot lg(-ctgt)[/m]

Находим

[m]lim_{t → 0}lgy=lim_{t → 0}2t\cdot lg(-ctgt)=[неопределенность. 0\cdot ∞ ]=lim_{t → 0}\frac{2lg(-ctgt)}{\frac{1}{t}}[/m]

Получили неопределенность ( ∞ / ∞ )

Применяем правило Лопиталя.


если
[b][m]lim_{t → 0}lgy=a[/m], то [m]lim_{t → 0}y=10^{a}[/m][/b]