Задача 73747 1) найдите первообразную, которая...

653a097adf8de70c102f4264

26.10.2023 18:27:36

1) найдите первообразную, которая проходит через ...

3) Вычислите объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу ограниченной линиями: ...

626fab9a354ab65fb2f43abb

27.10.2023 20:48:21

★

1) [m]f(x) = \frac{3}{4\sqrt{x}} + x[/m]
Первообразная:
[m]F(x) = \int(\frac{3}{4\sqrt{x}} + x)dx = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} + \frac{x^2}{2} + C[/m]
Нужно, чтобы график первообразной проходил через точку A(4; 13).
F(4) = 13
[m]F(4) = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{4} + \frac{4^2}{2} + C = 13[/m]
[m]\frac{3}{2} \cdot 2 + \frac{16}{2} + C = 13[/m]
[m]3 + 8 + C = 13[/m]
[m]C = 2[/m]
Первообразная:
[m]F(x) = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} + \frac{x^2}{2} + 2[/m]

3) Нужная нам заштрихованная область, ограниченная линиями, показана на рисунке.
Это прямоугольная трапеция, и она вращается вокруг оси Oy.
В результате вращения получится усеченный конус.
Нижнее основание - круг радиусом R = 2.
Верхнее основание - круг радиусом r = 1.
Высота H = 2.
Формула объёма усечённого конуса:
V = 1/3*π*H*(R^2 + R*r + r^2) = π/3*2*(2^2 + 2*1 + 1^2) =
= π/3*2*(4 + 2 + 1) = 7*2*π/3 = 14π/3
[b]V = 14π/3[/b]