Задача 73746 Найти частное решение уравнения,...
Условие
y"+3y'=0, y(0)=1, y'(0)=2
Решение
У нас есть уравнение второго порядка: y'' + 3y' = 0
Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
Мы начинаем решать задачу, выражая это уравнение в виде характеристического уравнения:
m^2 + 3m = 0
Затем мы решаем это уравнение относительно m:
m (m + 3) = 0
Отсюда получаем два корня: m1=0, m2=-3.
Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка мы можем выразить следующим образом:
y = C1*e^(m1*x) + C2*e^(m2*x)
Подставляем полученные корни:
y = C1*e^(0*x) + C2*e^(-3*x)
y = C1 + C2*e^(-3x)
Теперь нам нужно использовать начальные условия y(0)=1, y'(0)=2 чтобы найти C1 и C2.
Первое начальное условие: y(0)=1. Подставляем x=0 в уравнение, получаем:
1 = C1 + C2*e^(0)
1 = C1 + C2
Выражаем C1 через C2: C1 = 1 - C2
Второе начальное условие: y'(0)=2. Для этого нужно найти производную от y:
y' = d/dx (C1 + C2*e^(-3x))
y' = 0 - 3*C2*e^(-3x)
Подставляем x=0 и y'=2 в это уравнение:
2 = -3*C2*e^0
2 / -3 = -C2
Таким образом находим C2 = -2 / 3 и подставляем его в выражение для C1, получаем C1 = 1 - (-2/3) = 5 / 3.
Ответ: Частное решение дифференциального уравнения с учетом начальных условий y(0)=1 и y'(0)=2 равно:
y = (5/3) + (-2/3)*e^(-3x)