Задача 73626 Даны вершины треугольника АВС, А(-2;1)...
Условие
(12;3) Найти: 1) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и её длину;
5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Решение
[m]|AB|=\sqrt{(7-(-2))^2+(13-1)^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15[/m]
2)
1) уравнение стороны АВ как прямой, проходящей через две точки
имеет вид:
[m]\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}[/m]
Подставим координаты точек А и В:
[m]\frac{x-(-2)}{7-(-2)}=\frac{y-1}{13-1}[/m] ⇒ [m]\frac{x+2}{9}=\frac{y-1}{12}[/m]
[m]12(x+2)=9(y-1)[/m]
Делим обе части равенства на 3
[m]4(x+2)=3(y-1)[/m]
[m]4x+3y+11=0[/m] -[i] общее[/i] уравнение прямой AB
Запишем уравнение стороны АВ как уравнение прямой с угловым коэффициентом k
[m]4x+3y+11=0[/m]⇒ [m]3y=-4x-11[/m]⇒[m]y=-\frac{4}{3}x-\frac{11}{3}[/m]
[m]k=-\frac{4}{3}[/m] - угловой коэффициент прямой АB
k_(AB)=[m]-\frac{4}{3}[/m]
Аналогично
[m]\frac{x-(-2)}{12-(-2)}=\frac{y-1}{3-1}[/m] ⇒ [m]\frac{x+2}{14}=\frac{y-1}{2}[/m]
[m]2(x+2)=14(y-1)[/m]
[m]x+2=7(y-1)[/m]
[m]x-7y+9=0)[/m]-[i] общее[/i] уравнение прямой AB
[m]7y=x+9[/m]⇒[m]y=\frac{1}{7}x+\frac{9}{7}[/m]
[m]k=\frac{1}{7}[/m] - угловой коэффициент прямой AC
k_(AC)=[m]\frac{1}{7}[/m]
4)
Высота, проведенная из вершины С перпендикулярна стороне АВ
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
k_(AB)*k_(CD)=-1
k_(AB)=[m]-\frac{4}{3}[/m]
k_(CD)=[m]\frac{3}{4}[/m]
[m]y=\frac{3}{4}x+b[/m] - уравнение любой прямой, перпендикулярной АВ
Подставляем координаты точки C
[m]3=\frac{3}{4}\cdot 12+b[/m]
[m]b=-6[/m]
[m]y=\frac{3}{4}x-6[/m]- уравнение высоты CD
Можно найти координаты точки D как точки пересечения высоты СD и прямой AB
Для этого решаем систему уравнений:
{[m]y=\frac{3}{4}x-6[/m]
{[m]y=-\frac{4}{3}x-\frac{11}{3}[/m]
и тогда находим длину CD так же как длину АВ ( cм 1))
Можно применить формулу (см. скрин)
Уравнение прямой АВ:
[m]4x+3y+11=0[/m]
С(12;3)
CD=[m]\frac{|4\cdot 12+3\cdot 3+11|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{68}{5}=13,6[/m]
5)
Находим координаты точки О - середины АВ
x_(О)=[m]\frac{(x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-2+7}{2}=2,5[/m]
y_(О)=[m]\frac{(y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{1+13}{2}=7[/m]
R=|AB}/2=7,5
Уравнение окружности
(х-2,5)^2+(y-7)^2=7,5^2