Задача 73619 ...
Условие
∞ ∑ n=1 n!/2^n +1.
Решение
Первым шагом в решении этой задачи будет использование критерия д’Аламбера. Он гласит, что если для положительных членов ряда их отношение стремится к пределу, то ряд сходится, если этот предел меньше 1, и расходится, если предел больше 1. Критерий не даёт ответа, если предел равен 1.
Перейдем к анализу нашего ряда.
Постараемся упростить его для удобства проведения расчетов:
n!/2^n +1 можно записать как (n!/2^n) + 1.
Запишем отношение двух последовательных членов этого ряда:
((n+1)!/2^(n+1) + 1) / (n!/2^n + 1)
Далее сократим факториалы и степени двойки:
= ((n+1)/2 + 1/(n!/2^n + 1))
Найдем предел этого выражения при n стремящемся к бесконечности.
Если подставить бесконечность вместо n, то получим:
= (infinity/2 + 1/infinity) = infinity/2 = infinity.
Так как предел равен бесконечности, то по критерию д’Аламбера ряд расходится.
Значит, наш исходный ряд n!/2^n +1 расходится.
[b]Ответ от меня[/b]
Как видим, нейросеть почти угадала, ошиблась только с формулой.
Формула по мнению нейросети: [m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{n!}{2^{n}} + 1[/m]
Формула на самом деле, тут я сомневаюсь.
1 вариант: [m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{n!}{2^{n}+1}[/m]
2 вариант: [m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{n!}{2^{n+1}}[/m]
Но в обоих случаях результат одинаковый: ряд расходится.